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二、纠错编码的分类
按功能分：检错码和纠错码 按监督码元与信息码元之间是否存在线性关系分：
线性码与非线性码 按信息码元与监督码元之间的约束关系不同分：分 组码与非分组码如卷积码 按信息码元在编码后是否保持原来的信号形式分： 系统码与非系统码 按纠正差错的类型分：纠正随机错误的码与纠正突 发错误的码 按码元的取值分：二进制码与多进制码
线性码
码组中监督码元和信息码元之间满足线性变换关系，由一 组线性方程（监督方程）构成。线性码是一种代数码。奇 偶监督码是最简单的线性码。
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二、几种简单的线性分组码
1、重复码 (n,1)的线性分组码，最小码距为n，当n很大时，编码效率低， 纠错能力强，
2、奇偶校验码 只有一个监督码（校验位）的（n,n-1）的分组码。分为 两种：奇数校验码和偶数校验码
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奇数校验码：附加一位监督码，使码组中“1”的个数为奇数
设码字（vn-1, vn-2, …, v1, v0），v0为监督元，则有：
vn-1＋ vn-2＋…＋ v1＋ v0＝1
模2加
（8-1）
在接收端，按上式计算各码元，若结果为0认为有错； 否则，无错。如：11010 0
偶数校验码：附加一位监督码，使码组中“1”的个数为偶数，
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例：若发送码序列为（1100100111 0100011100 0010011110 0101011000 0110000001 11……）,求其奇偶监督方阵
1 0 0 0 0 1
1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 0 1
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四、线性分组码编码原理
1、汉明码：能纠正单个随机错误且编码效率较高的线性 分组码，其参数： 监督位： m n k且m 3 码长： 信息位：
n 2m 1
2m 1 m
最小距离： d min 3
k 2m 1 m m 编码效率： 1 m n 2m 1 2 1
理论依据：Shannon信道编码定理 定理指出：
对于一给定的有干扰信道，若其信道容量为C， 只要发送端以低于C的速率R发送信息，则一定存在 一种编码方法，使编码错误概率P随着码长n的增加， 按指数下降到任意小的值。
Pe
nE ( R )
E（R）称为误差指数，n编码长度，R信息发送速率
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三、编码距离与纠错检测的关系
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三、误码的类型 随机误码
•错码出现是随机的、错码之间统计独立。 •由随机噪声引起 •存在随机误码的信道称为随机信道
突发误码
•错码成串集中出现，在很短的时间出现大量错码，而 过后又存在较大的无错码位，且差错之间是相关的 •例如：脉冲噪声，信道中衰落 •存在这种差错的信道称为突发信道
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四、差错控制方法
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最小码距：对于某种编码，所含的全部码组之间的最小距 离，成为该码的最小码距，用dmin表示 最小码距的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力， 它是衡量各种码抗干扰能力大小的标准。码组的最小距离 越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力检错不多于e个错，则要求 2) 如果 一个码能纠正不多于t个错，则要求
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这种方法只能检测错误，但不能纠正错误 比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误 000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两 个码组
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000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一 个错码。 如：接收端接收到禁用码组100，若认为只有一个错码， 可纠正，若错码数不超过2个，只能检测错误 4种信息完全可以由2位二进制数字来表示，即前两位。 可见，第三位完全是多余的，这第三位就作为附加的 监督码
例：我国电传机用“5中取3”恒比码表示10个数字
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表 我国五单位保护电码表
（是一种五中取三码）
数字 0 1 2
电码 01101 01011 11001
数字 5 6 7
电码 00111 10101 11100
3
4
10110
11010
8
9
01110
10011
在国际无线电报通信中，广泛采用“7中取3”恒比码。
第八章 差错控制编码
1
● —— 主要内容
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5
引言 纠错编码的基本原理 线性分组码 循环码 小结
2
§8.1 引言
一、基本概念
在数字信号传输中，由于噪声的存在及信道特性 不理想，都可使信号波形失真，从而在接收端就不可 避免的产生错误判决。 引起误码原因: (1)信道特性不理想(乘性干扰): 引起码间串扰，通常 可采用均衡的办法纠正。 (2) 噪声影响(加性干扰) : 需借助各种差错控制编码 技术来克服。
mn （3） 编码效率 (m 1)(n 1) 信息码元共m行n列
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4、恒比码（等比码或等重码）
每个码组中含“1”和“0”的个数的比例恒定 在检测时，计算接收码组中“1”的数目是否正确，能检测
出所有奇数个错误，并能部分检测出偶数个错误（成对交 换错误检测不出）
简单，适用于电传机或其它键盘设备产生的字母和符号
d min e 1
d min 2t 1
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2) 如果 一个码能纠正不多于t个错，同时可以检e个错误
则要求
d min e t 1
四、编码效率
设编码序列长度与所包含的信息位数分别为n,k，则 编码效率指一个码组中信息位所占比重：
k k n k r
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编码效率是衡量码性能的一个重要参量，编码效率与
即满足： vn-1＋ vn-2＋…＋ v1＋ v0＝0
（8-1）与(8-2)叫做监督方程或监督关系式
（8-2）
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在接收端，按上式计算各码元，若结果为1认为有错； 否则，无错。如： 11010 1
注意：只能检测奇数个错误，当错码为奇数个时，由于 打乱了码字中”1”个数的奇偶性，故能发现差错。但当 错码为偶数个时，因码字中1个数奇偶性保持不变，则 无法发现错码。
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差错控制编码又称为信道编码(纠错编码)，要求在 满足有效性前提下，尽可能提高数字通信的可靠性
纠错编码：在要传送的数字信息序列中按一定规则加
上一些冗余码元（监督位),使序列按满足一定数学规律 的码字传输(编码过程);
译码:在接收端,利用这种规律性来鉴别传输过程是否
发生错误或纠正错误，恢复原始信息序列。
将信息码首先分成若干组，然后为每组信码附加若干位 监督码元，这种编码称之为“分组码”
分组码一般用（n,k）表示， k是信息码的位数，n是码 组长度，监督码元位数r=n-k ，分组码结构 码长n=k+r
cn1 cn2

cnr cr1 cn2
r个监督位
c0
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k个信息位
注意：在分组码中，监督码仅监督本码组中的信息码元。 在非分组码中如卷积码，监督码元除了与本组信息码元 有关，还与其它组的信息码元有关
1 1 1 0 0 1
1 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
经编码后的校验位和信息位一起传输: （ 11001001110010001110000010011110101
010110000011000000111001111100…… ）
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特点：
（1）有可能检测偶数个错误，但是不能检测在方阵中 构成 矩形四个角的错误，因为在行列两个方向均有偶 数个错误。 （2）适于检测突发错码，能纠正突发错误，如当码组 中仅在一行有奇数个错误时，能够确定错误位置，并纠 正它。
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发端发出同时具有检错和纠错能力的码，收端收到后， 检查错误情况：如果错误在纠错能力之内，则自动纠正； 若超出纠错能力，但在检错能力之内，则经反向信道要 求重发。
注意：不同的纠错编码方法，有不同的检错或纠错能力， 一般说来，增加监督码元越多，检错或纠错的能力就越强， 提高传输可靠性是以降低传输有效性为代价的。
特点：结构简单，易于实现，编码效率高，虽然不理想， 但干扰不严重时，且码长不长的情况下仍很有用。
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3、方阵码
也叫二维奇偶校验码（矩阵码、行列监督码），其 基本原理与简单的奇偶校验码相似。不同的是每个 码元都要受到行和列的两项监督 编码方法： 将所要传送的码序列编成一个方阵，方阵中每一行为 一个码组。每行的最后加上一个监督码元，进行奇偶 监督。在每列的最后也加上一个监督码，进行奇偶监 督
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一、纠错编码的基本思想
发送端按照某种规则在信息序列上附加监督码元， 接收端则按照同一规则检查两者间关系 码的检错和纠错能力是用信息量的冗余来换取的。 添加的冗余越多，码的检错、纠错能力越强，但信道 的传输效率下降也越多。
以牺牲通信的有效性（信息传输速率）来提高可靠性
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二、纠错编码的理论基础
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这种编码方法就不具有任何抗干扰能力：
任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将变成 另一信息码组 但如果在8种码组中，规定只准使用其中4种来传输信息， 比如，许用码组为： 000（晴）， 011（阴）， 101（云）， 110（雨） 这种编码接收端有可能检测码组中出现的一位或 三位错误，但不能发现两位错码的情况 接收端收到禁用码组时，就认为发现了错误
抗干扰能力这两个参数是相互矛盾的 编码的主要任务就是如何找到一种编码，在满足一定 误码率要求的前提下，尽量提高编码效率。
五、编码增益
描述编码系统对非编码系统性能的改善程度，定义为 在给定误码率要求下，非编码系统与编码系统之间所 需信噪比的差。 编码增益越大越好