对于具体的流体质点来说x，y，z有双重意义：一方面它代表 流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。 也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也 是时间t的函数
x= x (t) y= y (t) z= z (t)
——流体质点的运动轨迹方程
5
3.2 流体流动的速度场
上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量
（2）由流线微分方程式，
dx dy t 1 1
积分可得 x y c
(b)
t 1
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相应的流线方程为
x=y
(c)
这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。
18
3.2 流体流动的速度场
(3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的 流线方程。由迹线方程可确定，t =1时刻质点 A位于x =3/2，y =1位置， 代入流线方程
x，y，z值不变， 改变t，表示空间某固定点的速度随时间的变
化规律。
t不变 ，改变x，y，z，代表某一时刻，空间各点的速度分布。
3
3.1 流场及其描述方法
3. 两种方法的比较
拉格朗日法
欧拉法
表达式复杂
表达式简单
不能直接反映参数的空 直接反映参数的空间分
间分布
布
不适合描述流体元的运 适合描述流体元的运动
3/2 1C 11
可得C = －1/4
t = 1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为
x = 2 y－1/2
(d)
上式是一条与流体质点 A的迹线相切于（3/2，1）点的斜直线，运动方向
为沿该直线朝 x, y值增大方向。
讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定
点的流线可以不同（见b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
r
V QV
VdA
A
AA
对于非圆截面管道引入湿周 、水力半径和当量直径概念
湿周χ ：在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度
水力半径Rh ：总流的有效截面面积与湿周之比
A
Rh 当量直径Dh ：4倍的水力半径
23
3.2 流体流动的速度场
t
位移时，物理量对时间的变化率
r (V
g)
迁移导数或位变导数，表示流体处于不同位置时物理量
对时间的变化率。
注：1. 迁移导数虽然是参数在空间的分布，但并不是参数对 坐标的导数，变量仍然是t, 通过中间变量x,y,z 对时间求导。
2. 与拉格朗日坐标系下质点导数的比较
9
3.2 流体流动的速度场
【例】已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 u x t, v y t
dx dy dz u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t)
13
3.2 流体流动的速度场
14
3.2 流体流动的速度场
流线的基本特性 (1) 在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间 变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线 和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间 变化，故流线和迹线不相重合。 (2) 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况 流线不能相交和分支。（驻点或奇点除外） (3) 流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。 (4) 流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的 地方，表示该处的流速较小。
对于在流管有效截面上流速不等的流动，其体积流量为
r
QV
VdA
A
当流速与截面A不垂直时，体积流量变为
QV
r V

nr
A
dA
V cosdA
A
式中n 是截面的外法线单位矢量
22
3.2 流体流动的速度场
平均流速：平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上
各点都以相同的流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量
同（见c和d式）。
19
3.2 流体流动的速度场
3. 流管、流束和总流
流管：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各
点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。
流管表面上流体的速度与流管表面平行，即流管表面法向
单位向量n 与该点的速度V相垂直。流管方程为：
nr
r V

0
流体质点不能穿过流管流入或流出。
随a、b、c的变化，得到不同流体质点参数B的变化 a、b、c=const时， 表示某个确定的流体质点的运动规律。
1
3.1 流场及其描述方法
在t时刻，某质点a,b,c 的位置可表示为：
x x(a,b,c,t) y y(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
该流体质点的速度场为： u x u(a, b, c, t) t v y v(a, b, c, t) t w z w(a, b, c, t) t
M0 平移速度
M 相对M0的速度
【解】
（1）直径为d 的圆管 （2）边长为a 正方形 （3）高为h的长方形
d=0.20(m）
d=0.177(m）
h=0.102(m）
χ=πd=0.628(m)
χ=4a=0.708(m)
χ=0.816(m)
Rh =A0/χ=0.05(m) Dh=4Rh=0.2(m) =d
Rh =A0/χ=0.044(m) Dh=4Rh=0.177(m)
流束：过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束 流线簇，称为流束。
有效截面：在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。
也称为过流 断面。
20
3.2 流体流动的速度场
21
3.2 流体流动的速度场
4. 流量和平均流速 流量：单位时间内通过有效截面的流体的量
体积流量 ：以Qv表示。单位为m3/s 质量流量 ：以Qm表示。单位为kg/s
动变形特性
变形特性
拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析 方法
分别描述有限质点的轨 同时描述所有质点的瞬
迹
时参数
4
3.2 流体流动的速度场
速度场——任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场， 又称速度分布。
1. 流体质点运动的速度和加速度
在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为
r
r
r
r
V u(x, y, z,t)i v(x, y, z,t) j w(x, y, z,t)k
3.1 流场及其描述方法
流场——流体质点在流动中所占据的空间
1. 拉格朗日法
拉格朗日法又称随体法：着眼于流体质点，通过跟踪每 一个流体质点的运动过程，研究流体质点物理量随时间变化 规律，进而确定整个流场内流体质点的运动参数。
B=B (a，b，c，t)
式中a、b、c，t称为拉格朗日变量，是初始时刻对质点的标识
az

w t
u
w x
v
w y

w
w z
6
3.2 流体流动的速度场
表示成矢量形式，即
a DV V V V
3-7
Dt t
欧拉方法中，流体质点的加速度由两项构成
(a)当地加速度 V : 固定点上流体质点的速度随时间的变 t 化率，反映了流场的非定常性引起
(b) 迁移加速度V V : 流体质点运动改变了空间位置而引起
A
R 0
um
1
r2 R2

2
rdr

2
um
R 0

r

r3 R2

dr

2 um

r2 2

r4 4R2

R 0

0.5um R2
其平均速度为：
V

Q
R2
0.5um
24
3.2 流体流动的速度场
【例3-3】直径为d的圆形管道，边长为a的正方形管道和高为h, 宽为3h 的矩 形管道，具有相同的有效截面积A0=0.0314m2，分别求出这三种充满流体的 管道的湿周χ 、水力半径Rh 和当量直径Dh，并说明那种管道最省材料
Rh =A0/χ=0.038(m) Dh=4Rh=0.153(m)
圆形截面湿周最小，过流截面积最大，最省料
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3.3 流体微团运动分析
1. 亥姆霍兹速度分解定理
在 xy 平面流场中，M0 点的速度为在x方 向上的速度为u0，则利用流体参数的连 续性用泰勒展开可以得到邻近 的M 点的 速度在 x 方向的分量u可表示为
【例】已知:粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上速度分布
呈抛物线分布
u

um
1

r R
2


其中um截面速度分布的最大速度。
求：（1）流量Q的表达式；（2）截面上平均速度V
【解】流量计算时dA = 2πrdr，抛物线分布的流量为
Q1
V ndA
求：在t = 0时刻位于点（a, b）的流体质点的运动轨迹。
【解】由流体质点的运动轨迹方程得
u dx x t dt
v dy y t dt
积分得：
x et c1
t
et
d
t

et
c1

(t
1)e t


c1et
t
1


y et c2
类似的方法可得到该流体质点的加速度场