I积分[Stern et al., 1976 ]
t ij t ui
Jt J J
1
aux
I
1
aux ij ij aux ( K I K Iaux )r 2 fijI ( ) ( K II K II )r 2 fijII ( )
Piecewise-exponential model (PE 模型 )
o a h c b
FGMs with arbitrary properties
y
x
边界条件:
PE 模型——分段指数模型
o
0
hn2
hM h
hn1
hn1 1
h2 h1
…
E0
y
…
a
… …
b
… …
M
x
EM
Schematic of the layers in the PE Model
功能梯度材料（ FGM ）特点：实现材料的两侧具有不 同的功能，同时克服 两种材料结合部位的性能不匹配。
陶瓷/非金属
陶瓷/金属系 梯度功能材料
发展
陶瓷/陶瓷
金属/非金属 非金属/塑料
功能梯度材料— 一种典型的非均匀材料 一种复合材料
功能梯度材料
FGM作为一种可设 计的新型材料，被 认为是在高温环境 下最有应用前景的 复合材料之一，而 且在其它更广泛领 域内的应用也显示 出巨大的潜力！
一． 功能梯度材料的应用与研究背景
二． 任意属性功能梯度材料的断裂力学解析模型
三． 任意属性功能梯度材料的断裂力学数值模拟模 型
任意属性非均匀材料裂纹问题的数值模拟方法
—— 相互作用积分方法与扩展有限元法的结合
相互作用积分 - J积分
相互作用积分源 于J积分。 J积分：关于裂 纹尖端的一个围 道积分。 弹性、均匀材料 中J积分与路径 无关。
Real properties approached by exponential functions
应力强度因子（SIFs）随材料模量的变化
the normalized SIFs are greater when the crack tip lies in the comparatively stiffer location
不同类型真实模量与PE模型近似模量的比较
10 9 8
E(x)/E0
original real property approximated property EM/E0=10
7 6 5 4 3 2 1 0.0 0.2 0.4 x/h 0.6 0.8 1.0 g=1/2 g=1 g=2 exponential
表面
内部 横断 面
PSZ/IN100-FGM
PSZ/Inco 718-FGM
度热 材冲 料击 中载 的荷 典作 型用 破下 坏功 模能 式梯
以上图片选自 A. Kawasaki and R. Watanabe. Thermal fracture behavior of metal/ceramic functionally graded materials. Engineering Fracture Mechanics. 2002, 69: 1713-1728
具有一般属性的功能梯度材料 （非均匀材料）断裂力学模型
果立成
哈尔滨工业大学航天科学与力学系
内容
一． 功能梯度材料的应用与研究背景
二． 一般属性功能梯度材料的断裂力学解析模型
三． 一般属性功能梯度材料的断裂力学数值模拟 模型
一． 功能梯度材料的应用与研究背景
二． 一般属性功能梯度材料的断裂力学解析模型
（叠加原理）
ui uiaux ( K I K Iaux )r 2 giI ( , , ) ( K I K Iaux )r 2 giI ( , , )
1 1
1 aux aux aux I [ ( jk aux ) ( u jk jk jk 1i ij j ,1 ij u j ,1 )]ni d 2 2 aux * ( K I K Iaux K II K II ) E
J积分[Rice, 1968]
J (W 1 j ij ui ,1 )n j d

G J 弹性、均匀材料
G lim J
0
非均匀材料
1
2
图1
相互作用积分
相互作用积分I：它是两种受力状态（实际受力场 和辅助场）的相互影响部分。 aux aux 辅助场： u , u , 真实场： i ij i ij
PE model——分段指数模型
h1
a ... Material’s Property
hM h
b
Crack ... Real property Approximated property
x
Schematic of the approximated material’s property in the PE Model
以上图片取自: Y.Miyamoto et al. (eds.). Functionally graded materials. Design, Processing and Applications. Kluwer Academic Publishers, 1999
功能梯度材料断裂
断裂是功能梯度材料的 一种主要破坏方式。
三． 一般属性功能梯度材料的断裂力学数值模拟 模型
一、功能梯度材料的应用与研究背景
功能梯度材料 (FGM):组份与微结构非均匀空间变化， 其力学性能和功能沿某一方向成梯度变化。
FGM was proposed in around 1984: A spaceplane's outer body (about 1700 deg), Rocket engine
一． 功能梯度材料的应用与研究背景
二．一般属性功能梯度材料的断裂力学解析模 型
三． 一般属性功能梯度材料的断裂力学数值模拟模 型
任意属性功能梯度材料的断裂力学解析模型 的研究
对于功能梯度材料的理论研究，对真 实材料建立相对简化模型是必要的。多年 来科研工作者对任意属性功能梯度材料建 立了一系列的解析模型。其中PE模型是其 中行之有效的方法之一。