江苏省常州市教育学会2019—2020学年度第一学期学生学业水平监测
高中二年级数学试题
2020.1
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.如果a ＜b ＜0,c ∈R,那么
A.a ﹣b ＞0
B.ac ＜bc
C.a 2＜b 2
D.11a b
> 2.在等差数列{}n a 中,已知11a =,358a a +=,则7a ＝
A.5
B.6
C.7
D.8 3.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为
A.2
8y x = B.2
x y = C.2
8y x =或2
x y = D.无法确定 4.命题“x ∃∈(0,+∞),ln 1x x =-”的否定是
A.x ∀∈(0,+∞),ln 1x x ≠-
B.x ∀∉(0,+∞),ln 1x x =-
C.x ∃∈(0,+∞),ln 1x x ≠-
D.x ∃∉(0,+∞),ln 1x x =-
5.椭圆22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A,B,左右焦点分别是F 1,F 2,若AF 1,F 1F 2,F 1B 成
等比数列,则此椭圆的离心率为
A.
14 B.5 C.12
2
6.在下列函数中,最小值为2的是 A.55x y x
=
+(x ∈R 且x ≠0) B.1
lg lg y x x =+(1＜x ＜10)
C.33x
x
y -=+(x ∈R) D.1sin sin y x x
=+
(0＜x ＜2π
)
7.已知空间向量m u r ＝(1,3,x ),n r ＝(x 2,﹣1,2),则“x ＝1”是“m u r ⊥n r
”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 8.若x ＞0,y ＞0,且x ＋y ＝S,xy ＝P ,则下列说法中正确的是
A.当且仅当x ＝y 时S 取得最小值
B.当且仅当x ＝y 时P 取得最大值2
S 4
C.当且仅当P 为定值时S 取得最小值
D.当且仅当S 为定值且x ＝y 时P 取得最大值2
S 4
9.《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为 A.12.5尺 B.10.5尺 C.15.5尺 D.9.5尺
10.已知离心率为2的双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0,b ＞0)的右焦点为F,O 为坐标原点,以OF
为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O 、A 两点.若△AOF 的面积为2,则实数a
的值为
A.2
B.22
C.4
D.8 11.如图,在三棱锥C —OAB 中,OA ⊥OB,OC ⊥平面OAB,OA ＝6,OB ＝
OC ＝8,点D 、E 分别为AC,AB 的中点,点F 在线段BC 上.若BF ＝
3
4
BC,则异面直线EF 与OD 所成角的余弦值为 A.37-
B.37
C.47-
D.4
7
第11题 12.已知F 为椭圆M ：22
12
x y +=的右焦点,点A,B,C 为椭圆M 上三点,当FA FB FC ++u u u r u u u r u u u r 0
=r 时,称△ABC 为 “和谐三角形”,则“和谐三角形”有
A.0个
B.1个
C.3个
D.无数个
二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上) 13.不等式
21
31
x x -+＞1的解集是 . 14.己知正数a ,b 满足4a ＋b ＝l,则1
ab ab
+
的最小值为 . 15.若数列
{}
n a 的通项
公
式
为
1
2n n a -=,数列
{}
n b 满
足 2log n n b a =+
2122
1log log n n a a ++⋅(N n *
∈),则数列{}n b 的前10项和为 .
16.点P 为椭圆
22
12516
x y +=上一点,M 、N 分别是圆22(3)4x y ++=和22(3)1x y -+=上的
动点,则PM ＋PN 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)
已知p ：x 2﹣7x ＋10＜0,q ：x 2﹣4mx ＋3m 2＜0,其中m ＞0. (1)求使得P 为真命题的实数x 的取值范围；
(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n a 是n S 与2的等差中项.数列{}n b 中,1b ＝2,点P(n b ,1n b +)在直线y ＝x ＋2上.
(1)求1a 和2a 的值；
(2)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；
(3)设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n T .
19.(本小题满分12分)
如图,两条公路垂直相交于A 站,已知AB ＝100千米,甲车从A 站出发,沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶,同时乙车从B 站出发,沿BA 方向以v 千米/小时的速度行驶.乙车行驶至A 站时停止前行并停留在A 站,甲车仍继续行驶(两车的车长均忽略不计).
(1)求甲、乙两车的最近距离(用含v 的式子表示)；
(2)若甲、乙两车开始行驶到甲、乙两车相距最近时所用时间为t 0小时,问v 为何值时t 0
最大?
20.(本小题满分12分)
如图,在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD,AB ⊥AC,AB ＝1, AC ＝AA 1＝2,AD ＝CD ＝
5.
(1)求二面角D 1—AC —B 1的正弦值；
(2)点N 是线段D 1D 的中点,点E 为线段A 1B 1上点,若直线NE 与平面ABCD 所成角的正弦值为
367
,求线段A 1E 的长.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的离心率为32,左右焦点分别为F 1,F 2,焦距为6.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆左顶点的两条斜率之积为1
4
-
的直线分别与椭圆交于M,N 点.试问直线MN 是否过某定点?若过定点,求出该点的坐标；若不过定点,请说明理由.
22.(本小题满分12分)
己知数列{}n a 中,n a ＞0,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且2
2n n n
a S a +=. (1)求2S ,3S ,并求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)设2
1
n n n b S S +=
+,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若22n T k -≥0 对任意的正整数n 都
成立,求实数k 的取值范围.。