（通用版）高考数学复习专题七解析几何7.3解析几何（压轴题）练
习理
7.3 解析几何(压轴题)
命题角度1曲线与轨迹问题
高考真题体验·对方向
1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).
由得x0=x,y0=y.
因为M(x0,y0)在C上,所以=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),
则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).
由=1得-3m-m2+tn-n2=1.
又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以=0,即.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B 两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
(1)证明由题知F.
设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A,B,P,Q,R.
记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,
则k1==-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)解设l与x轴的交点为D(x1,0),
则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.
由题设可得|b-a|,
所以x1=0(舍去),x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.
所以所求轨迹方程为y2=x-1.
典题演练提能·刷高分
1.(2019西南名校联盟重庆第八中学高三5月月考六)设抛物线C1的方程为x2=4y,点M(x0,y0)(x0≠0)在抛物线C2:x2=-y上,过M作抛物线C1的切线,切点分别为A,B,圆N是以线段AB为直径的圆.
(1)若点M的坐标为(2,-4),求此时圆N的半径长;
(2)当M在x2=-y上运动时,求圆心N的轨迹方程.
解(1)设N(x,y),A x1,,B x2,,x1≠x2,
切线MA,MB的方程分别为y=(x-x1)+,y=(x-x2)+,
得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0==2,y0==-4.
又k AB==1,
|AB|==4,
∴r=|AB|=2.
(2)∵N为线段AB的中点,
∴x=,y=.
点M在C2上,
即=-y0.
由(1)得2=-,
则2=-.
∴x2=-,x≠0,即x2=y(x≠0).
∴圆心N的轨迹方程为x2=y(x≠0).
2.已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.
解(1)设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),
∴k1=,k2=,
又k1k2=-,∴=-,
∴=1(x≠±2),
∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).
(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故
,S==S△PQO,
当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×;
当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立
解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
Δ=144(k2+1)>0,
故|PQ|=|x1-x2|=,
点O到直线PQ的距离d=,
S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6,故S的最大值为.
3.已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).
①设W(x0,y0),证明:<1;
②求四边形QRST的面积的最小值.
(1)解设动圆半径为r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-
r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2,
由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b==1,E的方程为+y2=1.
(2)①证明由已知条件可知,垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<1.
②解若l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.
若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),
解方程组得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,
同理得|RT|=2,
∴S QSRT=|QS|·|RT|=,
当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.
综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值.
4.设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B 为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.
解(1)设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),
因为2,
所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),
所以解得
由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,
所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.
(2)由(1)知,E的方程为+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).
由得(1+4k2)x2+8kx=0.
设B(x1,y1),P(x2,y2),
因此x1=0,x2=-,
|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=,。