余数问题
【求余数】
（1990年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）
一组，就可得到331组，尚余4个6。

而6666÷7=952……2。

所以，原式的余数是2。

例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。

（《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。

9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。

7×3=21，21÷9=2……3。

所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。

例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。

（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。

然后，按所得的余数分类。

要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。

但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。

这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。

但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。

所以，最多能选出77个。

【同余问题】
例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。

这个整数是_____。

（全国第一届“华杯赛”初赛试题）
讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。

因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。

不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。

例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。

那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）
讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。

又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。

例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。

夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。

第三、四、五只猴子也都这样做。

问：最初至少有______个桃子。

（哈尔滨市小学数学竞赛试题）
讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。

于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。

加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。

因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。

这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。

所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。

例4 在1、2、3、……、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。

（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。

余数是0：7、14、21、28
余数是1：1、8、15、22、29
余数是2：2、9、16、23、30
余数是3：3、10、17、24
余数是4：4、11、18、25
余数是5：5、12、19、26
余数是6：6、13、20、27
要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。

所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。

而余数为0的数只取一个。

故最多可以取15个数。