信息技术与信息化自动控制79 基于MAT LAB 的倒立摆系统定性分析Qualitative Analysis of I nverted Pendulu m System Based on MAT LAB张 彬3 郭晓玉 王金凯33高军伟3ZHAN G B in G UO X iao -yu WAN G J in -kai G AO Jun -w ei摘 要 倒立摆系统作为控制理论研究中的一种较为理想的实验手段,是检验控制策略效果的不可或缺的工具,也是控制界中研究的热点。
判断系统的稳定性、可控性和可观性是设计倒立摆控制器的前提。
应用MAT LAB 对倒立摆系统进行分析、研究,方法方便快捷,实用性强,尤其适用于多级倒立摆系统。
关键词 倒立摆 稳定性 可控性 可观性 MAT LAB Abstract I nverted pendulu m contr ol syste m as a theoretical study is an ideal experi m ental means .Thiscontr ol syste m can not only test the effect of contr ol strategy as an indis pensable t ool,but als o be the hot s pots in the contr ol field .Deter m inati on of the stability,contr ollability and observability are the p re m ise of contr oller de 2sign f or the inverted pendulu m syste m.Analysis and research based on MAT LAB is convenient and p ractical es pe 2cially for multi -stage inverted pendulu m.Keywords I nverted pendulu m Stability Contr ollability Observability MAT LAB3青岛大学自动化工程学院 山东青岛 26607133安丘市供电公司 山东潍坊 262100引言倒立摆(I nverted Pendulu m )是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。
倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。
又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。
控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。
对系统进行定性分析,首先要建立系统的数学模型,并对系统的特性进行分析,包括系统的稳定性、可控性以及可观性。
摆杆竖直向上是直线倒立摆系统的不稳定平衡点,由于关心的是系统在平衡点附近的性质,因而可以采用线性模型来分析。
一般地,N 级倒立摆系统有Z (N +1)个状态变量,在分析系统特性时,可以运用MAT LAB 的矩阵计算功能来实现上述功能。
1 倒立摆系统的数学模型为简便起见,建模时一般忽略系统中一些次要的难以建模的因素,例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。
将小车抽象为质点,摆杆抽象为匀质刚体,摆杆绕转轴转动,基于以上的假设,可以用欧拉-拉格朗日方程原理建立小车倒立摆系统的动力学模型。
直线二级倒立摆线性化后的数学模型[1]:x θ1 θ2¨x 1¨θ1¨θ2=0001000000100000010000000K 12K 130000K 22K 230xθ1θ2 x θ1θ20001K 17K 27uy =x θ1θ210000001000001x 1θ1θ2x θ1 θ2+000u其中:K 12=3g (m 1+2m 2+2m 3)(4m 1+3m 2+12m 3)l 1 K 13=9m 2g-2(4m 1+3m 2+12m 3)l 1K 22=9g (m 1+2m 2+2m 3)-(8m 1+6m 2+24m 3)l 2 k 23=3g (m 1+3m 2+3m 3)(4m 1+3m 2+3m 3)l 2K 17=3(2m 1+m 2+4m 3)2(4m 1+3m 2+12m 3)l 1 K 27=3m 1-(8m 1+6m 2+24m 3)l 2式中参量定义及其取值:x,小车位移;θ1,摆杆1与竖直向上方向的夹角;θ2,摆杆2与竖直向上方向的夹角;M ,小车质量,1Kg;m 1,摆杆1质量,0.05Kg;m 2,摆杆2质量,0.1Kg m 3;,质量块质量,0.2Kg ;l 1,摆杆1转动中心到质心的距离,0.1m;l 2,摆杆2转动中心到质心的距离,0.25m;g ,重力加速度,9.8m /s 2。
2 倒立摆系统的定性分析系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性理论。
自动控制信息技术与信息化80 2009年第1期对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据系统的线性化模型进行分析。
在对时不变系统进行定性分析时,一般要用到线性控制理论中Lyapunov 稳定性判据、可控性和可观性判据[3]。
定理1(Lyapunov 稳定性判据)n 阶线性时不变连续系统 X =AX +B μ的平衡状态x e =0渐近稳定的充要条件是矩阵A 的所有特征值均具有负实部,或者说系统的闭环传递函数的极点全部位于左半s 平面内。
定理2(可控性判据)n 阶线性时不变连续系统 X =AX +B μ状态是可控,当且仅当系统的可控性矩阵:S =[B AB A 2B …An -1B ]满秩,即rank (S )=n 。
定理3(可观性判据)n 阶线性时不变连续系统 X =AX +B μ状态是可观测的,当且仅当系统的可观测矩阵:V =[C CA CA 2…CA n -1]T 满秩,即rank (V )=n 。
2.1 系统的稳定性判断在进行系统的稳定性判断的时候,需要求出系统的闭环特征值,应用MAT LAB 求解,代码如下:A =000100;000010;000001;000000;065.897-15.207000;0-39.53838.5240;B =[0;0;0;1;5.1724;-0.10345];C =eye (6);D =zer os (6,1);[nu m,den ]=ss2tf (A,B,C,D );%系统状态方程转换为传递函数p =r oots (den )%求系统特征根Ppan wen;%判断系统稳定性的m 文件其中,Ppan wen .m 如下:%由特征根p 判断系统稳定性程序n =size (p );n1=n (1);%特征根个数flag1=0;flag2=0;f or i =1:n1var1=p (i,1);var2=real (p (i,1));if real (p (i,1))>0flag1=flag1+1;%特征根实部>0,系统不稳定elseif abs (real (p (i,1))-0)<ep sflag2=flag2+1;%特征根实部=0,系统临界稳定end endif flag1>0dis p (’系统不稳定’)elseif flag2>0dis p (’系统临界稳定’)else dis p (’系统稳定’)end从运行结果可知:系统特征根为p =[0,0,8.9593,4.9124,-8.9593,-4.9124],有两个根在右半平面,系统不稳定。
2.2 系统的可控性、可观性判断系统的可控性判断首先要求出可控性矩阵S =[B AB A 2B … A n -1B ],然后求出秩,从而判断系统可控性。
系统的可观性判断首先要计算出可观性矩阵V =[C CA CA 2…CA n -1]T ,然后求秩,从而判断系统的可观性。
MAT LAB 实现如下所示(A 、B 、C 、D 阵同上):Pcontr ols (A,B );Pobserves (A,C );%分别调用判断系统可控性、可观性函数其中,子函数Pcontr ols .m 如下:functi on Strc =Pcontr ols (A,B )S =CTRB (A,B )%系统的可控性矩阵r =rank (S );%求秩l =length (A );if r ==l Strc =’系统完全可控’;else Strc =’系统不完全可控’;end子函数Pobserves .m 如下:functi on Str O =Pobserves (A,C )V =OBS V (A,C )%系统的可观性矩阵r =rank (V );%求秩l =size (A,1);if r ==l Str O =’系统完全可观’;else Str O =’系统不完全可观’;end运行程序后可得系统是完全可控、可观的。
3 结论判断系统的稳定性、可控性和可观性是设计倒立摆控制器的前提。
本文通过对二级倒立摆系统进行建模,并应用MAT LAB 对倒立摆系统进行分析、研究,计算并判断出倒立摆是一个不稳定、可控、可观的系统。
该方法方便快捷,实用性强,尤其适用于多级倒立摆。
参考文献:[1] 固高摆系统与自动控制实验,固高公司,2002.[2] 张志涌.精通MAT LAB6.5.北京:北京航空航天大学出版社,2003.[3] 刘豹.现代控制理论(第二版).北京:机械工业出版社,2006.[4] 欧阳淑丽,符秀辉.倒立摆装置及其稳定控制的研究.沈阳化工学院学报,2003:17(3):227-229.[5] 刘丽,何华灿.倒立摆系统稳定控制之研究.计算机科学,2006:33(5):214-219.[作者简介] 张彬,女,讲师,青岛大学电工电子实验教学中心,大学学历,研究兴趣:嵌入式系统、计算机控制技术。
(收稿日期:2008-12-16)。