分形技术一、基本概念及原则经典的欧氏几何学只研究直线、矩形、圆、三角形、圆锥面、锥体、椭球体等规则的形状,而对于自然界中稍为复杂一些的图形就没有能力描述它。
70 年代后期发展起来的分形几何学(FractalGeometry)相对于欧氏几何学来说,是一次革命性的突破。
分形几何可用来描述极复杂的几何图形。
“分形”一词是由它的创始人B.B.Mandelbrot在1980年从拉丁文中Fractus (意为断裂)一词演变来的,主要用来描述一些非常不规则的对象。
一个分形集应具备以下几个典型性质:(l) 通常它本身的结构在大小尺度上有着某种“自相似”形式(有的严格地相似,也有的只是近似的、或者统计的相似性);(2)当图形比例不断缩小时,它可以有任意小的细节;(3) 它的“分形维数”大于它的“拓扑维数”;(4) 在大多数令人感兴趣的情形下,它可以用非常简单的方法定义,并可以用迭代计算产生其图形;(5) 分形的结果是倾向于“解释性”的,而非“预言性”的。
很显然,如果不符合以上这些性质,就不能当作分形来研究。
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构，如科契雪花曲线、谢尔宾斯基地毯曲线等。
这种有规分形只是少数，绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
二、分类(1) 自然分形凡是在自然界中客观存在的或经过抽象而得到的具有自相似性的几何形体(对象) ,都称为自然分形. 它涉及的范围极为广泛,包括的内容及其丰富. 从自然科学基础理论到技术科学、应用技术的研究对象,都存在着自然分形. 例如,星云的分布、海岸线的形状、山形的起伏、云彩、地震、湍流等众多现象中的部分毫无例外地与整体相似(2) 社会分形凡是在人类社会活动和社会体系中客观存在及其表现出来的自相似性现象,称为社会分形.这种分形几乎涉及以社会的各个层面为研究对象的所有社会科学部门. 不论是使人明鉴的史学,还是使人灵秀的诗歌;也不论教人聪慧的哲学,还是令人善辩的辞学,都存在着,或在某一时期某一范围存在着自相似性的现象.社会分形表征了社会生活和社会现象中一些不规则的非线性特征,有着广泛的应用价值.(3) 时间分形凡是在时间轴上具有自相似性的现象或研究对象,称为时间分形.有人也把它称为“一维时间分形”或“重演分形”、“过程分形”.德国科学家魏尔说过一段耐人寻味的话:“在一维时间中,等间隔的重复是节律的音乐原则. 当一棵苗生长时,人们可以说,它把一种缓慢的时间节律翻译成了一种空间的节律”.恩格斯也曾经指出过,整个有机界的发展史和个别机体的发展史之间存在着令人惊异的类似. 在人类社会的发展中,同样存在着类似的现象.(4) 思维分形人类在认识、意识活动的过程中或结果上所表现出来的自相似性特征.这包括两方面的情况:其一,作为思维形式之一的概念,它是逻辑思维最基本的分形元,反映了人们对事物整体本质的认识. 其二,每个个人的思维都在某种程度上反映了人类整体的思维. 美国科学家道·霍夫斯塔特曾经写道: “每个人都反映其它许多人的思想,他们每个人又反映别人的思想,一个无穷无尽的系列”. 可以说,人类的每一个健全个体的认识发生、发展过程,都是人类认识进化史的一个缩影,是其简略而又迅速的重演.三、分形维数的定义及其测定分形维数(fractal dimension) ,又叫分维、分数维,是分形几何学定量描述分形集合特征和几何复杂程度的参数.(1)拓扑维数一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。
对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正方形的数目N(r)和尺度r 满足如下关系式 若r=1/4，则当r=1/k （k=1，2，3，…）时，则一般地，如果用尺度为r 的小盒子覆盖一个d 维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子数目N(r)和所用尺度r 的关系为变形得 义为拓扑维数（2）Hausdorff 维数几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d 为整数；二是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。
但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。
因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。
因为分形本身就是一种极限图形，可以得出分形维数的定义：上式就是Hausdorff 分形维数，通常也简称为分维。
拓扑维数是分维的一种特例，分维D 0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。
(3) 信息维数如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i 个小盒子的概率为P i ，那么用尺度为r 的小盒子所测算的平均信息量为若用信息量I 取代小盒子数N(r)的对数就可以得到信息维D 1的定义2)21(14)21(==N 2)41(116)41(==N 22)1(1)1(k k k N ==dr r N 1)(=)/1ln()(ln r r N d =)/1ln()(ln lim 00r r N D r →=∑=-=)(1ln r N i ii P P I )/1ln(ln lim )(101r P P D r N i i i r ∑=→-=如果把信息维看作Hausdorff 维数的一种推广，那么Hausdorff 维数应该看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。
对于一种均匀分布的分形，可以假设分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即可见，在均匀分布的情况下，信息维数D 1和Hausdorff 维数D 0相等。
在非均匀情形，D 1<D 0。
(4) 关联维数空间的概念早已突破3维空间的限制，如相空间，系统有多少个状态变量，它的相空间就有多少维，甚至是无穷维。
相空间突出的优点是，可以通过它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。
对于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统演化的结局最终要归结到子空间上。
这个子空间的维数即所谓的关联维数。
分形集合中每一个状态变量随时间的变化都是由与之相互作用、相互联系的其它状态变量共同作用而产生的。
为了重构一个等价的状态空间，只要考虑其中的一个状态变量的时间演化序列，然后按某种方法就可以构建新维。
如果有一等间隔的时间序列为{x 1，x 2，x 3，…，x i ，…}，就可以用这些数据支起一个m 维子相空间。
方法是，首先取前m 个数据x 1，x 2，…，x m ，由它们在m 维空间中确定出第一个点，把它记作X 1。
然后去掉x 1，再依次取m 个数据x 2，x 3，…，x m+1，由这组数据在m 维空间中构成第二个点，记为X 2。
这样，依此可以构造一系列相点N P i 1=)/1ln(ln lim )/1ln(1ln 1lim 0101r N r N N D r N i r →=→=-=∑⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++) ( ) () () ( 354424331322211m m m m x x x X x x x X x x x X x x x X ，，，：，，，：，，，：，，，：把相点X 1，X 2，…，X i ，…，依次连起来就是一条轨线。
因为点与点之间的距离越近，相互关联的程度越高。
设由时间序列在m 维相空间共生成个相点X 1，X 2，…，X N ，给定一个数r ，检查有多少点对(X i ，X j )之间的距离|X i -X j |小于r ，把距离小于r 的点对数占总点对数N 2的比例记作C(r)，为Heaviside 阶跃函数若r 取得太大，所有点对的距离都不会超过它，C(r)=1，lnC(r)=0。
测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r ，可能在r 的一段区间内有 如果这个关系存在，D 就是一种维数，把它称为关联维数，用D2表示，即四、在化学中的应用1）沉积及凝聚中的研究有些沉积物在其积聚过程中的某些阶段往往会出现分形结构,著名的DLA 模型就是在研究大气中的金属粉末、煤灰和烟灰等微粒的无规扩散积聚时提出的,并在环境科学中可能有很好的应用前景.科学家们将此模型应用于电解沉积中,如在这一方面最早报道的是英国科学家BradyRM. 和Ball RC.发表在Nature 上的关于电解实验中得到的铜离子在三维空间中的凝聚体,其维数是2. 43±0. 03,实验结果与DLA 模型符合较好.2）高分子化学中的研究高分子链几乎都是随机混乱排列而构成的,可以用一模型来模拟其结构. 同时,高分子链的局部与整体具有自相似性,所以可以认为高分子链是一具有分形结构的长链.这一结论推动了对高分子结构、形态认识的深入,导致了著名的∑≠=--=N j i j i j i X X r N r C 1,2) ( 1)(θ⎩⎨⎧<>=0001)(x x x ，，θD r r C ∝)(r r C D r ln )(ln lim 02→=Flory-Fisher 理论的诞生.研究工作者通过测定和分析反应过程中形成的聚合物分子簇的分维,发现不同反应初始状态对反应物结构的演变和最终产物的形成有很大影响. 分维可以对水凝胶聚合物的微观网络的致密程度进行量化表征,而采用多重分形理论描绘水凝胶聚合物微观形态的多重分维谱,可以比较非均匀程度,反映水凝胶聚合物微观形态不同层次上的分形特征.3）催化领域的应用最早把分形引入催化领域的是以色列化学家Pfeifer P.和Avnir D.等,并在1983年的论文中指出了测量催化剂分维的两种方法,第一种方法是通过采用不同大小(球形或线形)的分子在一固定的基底(催化剂)上进行吸附来测量;另一种方法是采用一种固定大小的标尺分子在不同大小的基底上吸附的方法来进行测量的.两种不同的方法都有相应的计算公式.采用上述两种方法测量碳黑及八面沸石等的分维均在2和3之间,并且偏差小于0.1.现在一个普遍为众多催化学家接受的观点是:催化剂表面布满孔隙和皱褶,已不能将它当作二维的表面来看待. 即在这种表面进行的化学反应或吸附不能认为是发生在2维界面上,而应以大于2维接近于3维的系统看待,这样才能更真实地反应催化剂表面的实质,也就是说只有采用表面分维才能真实完整反映催化表面的不规整性,而这种不规整的表面恰恰是较高的反应转化率的一个重要原因.人们期待着表面分维能够成为催化剂的重要表征参量之一,同以前常用的BET比表面相比,分形维数能体现出表面的“质量”,而BET比表面值更多的体现的是表面的“数量”,很显然, “质量”的好坏对催化活性的影响要远大于“数量”大小对活性的影响.因而在催化领域,该理论的应用进展是十分瞩目的,尤其是随着仪器及计算机性能的不断扩展,分形维数的确定已摆脱了烦复的实验和大量的数据处理,进入到了一个崭新的时代.目前, 分数维方法在化学中各个领域的应用正在开展之中. 例如: 沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面, 有关分形理论的应用性研究已有大量的报道, 也有少数学者开始研究小分子运动以及大分子构象等问题. 此外, 薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日趋活跃. 越来越多的化学家已开始把分形理论引用到自己的研究项目中.在化学界, 液态和溶液历来是研究的一个主题. 无序体系的一大难题是没有简洁严密的方法描述原子的无序排列近年来, 相关学者已用分数维方法在这方面进行了许多有益的探讨, 说明分数维理论对准晶和非晶态固体的描述具有巨大的潜力.另一方面, 分形几何理论作为描述各种无序介质结构的强有力工具, 在气固反应模型中也不断得到应用和发展。