且由三角形三边关系, 得r > 1 3 取r = 0.33912, Ds = ln5 ≈ 1.48829 ln0.33912
其它分形图
花篮族
羊凿树叶状分形
分数维( 分数维 Fractal Dimension)的意 的意 义
我们把维数看成是“复杂性指标” 我们把维数看成是“复杂性指标”，看 维数看成是 作是图形填充空间的程度。 作是图形填充空间的程度。则在曲线的构成 Koch曲线为例 曲线为例， 中，以Koch曲线为例，当转角由零度到九十 度 从小到大变化时，其分形维数也由1(直 从小到大变化时，其分形维数也由1(直 1( 线段维数)从小到大，甚至接近并达到2( 2(三 线段维数)从小到大，甚至接近并达到2(三 角形面片) 角形面片)。
分形相似维数(Similar Dimension) 分形相似维数 计 算
分形几何学起初确实没有太多公式， 分形几何学起初确实没有太多公式，但 它揭示了众多现象的自相似性， 它揭示了众多现象的自相似性，Mandelbrot 紧紧抓住了双对数关系(幂律关系 幂律关系)， 紧紧抓住了双对数关系 幂律关系 ，在非线性 中找到了一个重要不变量——分数维数。有 分数维数。 中找到了一个重要不变量 分数维数 了这些，对于一门学科的初创者来说， 了这些，对于一门学科的初创者来说，也就 足够了。 足够了。
桧树分形小枝： 桧树分形小枝：
刺柏)分形小枝 桧(gui)树(刺柏 分形小枝： 树 刺柏 分形小枝： 主型由五条折线段组成， 主型由五条折线段组成， 设其长度为r 设其长度为
由余弦定理有 : r + 0.5 2 × r × 0.5cos α = (0.5r )
2 2 2
3r 1 即 cosα + =0 4 4r
ln 4 Ds = ≈ 1.26186 1 ln 3
Levy曲线分形 曲线分形
Levy曲线主型： Ds = 曲线主型： 曲线主型
ln 2 ln 2
=2 2
皇冠分形曲线
设主型第一(六)条折线段与水平线夹角为α = 30o ,
故由方程 2r cos 30o + r = 1 得 r= 1 Ds = ln(ln36 1 ) ≈ 1.78275 + ( 3 +1 )
谢尔宾斯基海绵(sierpinski’s sponge) 谢尔宾斯基海绵
1. 如图所示，取一立方体,第一步将立方体等分 如图所示，取一立方体, 27个小立方体 个小立方体， 成27个小立方体，舍去体心的一个小立方体 和六个面上面心的小立方体, 即舍去7 和六个面上面心的小立方体, 即舍去7个小立 方体，保留27 27－ 20个小立方体 个小立方体. 方体，保留27－7＝20个小立方体.
二维空间上的分形图形生成法
分形最本质的特征是自相似性， 分形最本质的特征是自相似性，对于整体与部分 严格自相似的分形点集，其生成格式如下： 严格自相似的分形点集，其生成格式如下： (严格 自相似分形 或有规分形 的迭代生成： 严格)自相似分形 或有规分形)的迭代生成 严格 自相似分形(或有规分形 的迭代生成： 初始元：单位长度线段或其它几何图形； 初始元：单位长度线段或其它几何图形； 主型(motif)：又称作生成元，提供生成格式； ：又称作生成元，提供生成格式； 主型
维数计算
从一个小立方体出发，将小立方体的每边 从一个小立方体出发， 放大3 则此时体积放大27 27倍 放大3倍，则此时体积放大27倍，共舍去体心 和六个面面心上的7个小立方体， 和六个面面心上的7个小立方体，实际得的是 N=20 个小立方体； 个小立方体； 边长放大倍数为k 边长放大倍数为 ＝3.
练习题
1. 按照分形的自相似原理，设计一个严格 按照分形的自相似原理， 自相似分形集，并计算其自相似分维。 自相似分形集，并计算其自相似分维。
ln N 严格自相似分形的相似维数 : Ds = ln r
其中 N 为折线段的段数; r 为折线段的长度.
自相似性的一点注记
部分与整体具有严格的自相似的分形又称 作有规分形。 Koch曲线 曲线, 作有规分形。如Koch曲线,它是按一定的数学 法则(迭代)生成的， 法则(迭代)生成的，因此它的任一片段与整体 严格自相似。 严格自相似。 但自然界的分形， 但自然界的分形，其自相似性并不是严格 如海岸线，天空的云团， 的，如海岸线，天空的云团，树的枝干等只是 一种统计意义下的自相似。对于Koch曲线也可 一种统计意义下的自相似。对于 曲线也可 随机生成” 以“随机生成”－可用掷硬币的方式来决定新 的部分位于被去掉部分的哪一侧。 的部分位于被去掉部分的哪一侧。这类分形又 称作无规分形。 称作无规分形。
ln N ln 20 Ds = = ≈ 2.7268 ln K ln 3源自几种严格自相似分形的生成格 式
(1)Koch曲线 (1)Koch曲线
基线为单位长度线段； 基线为单位长度线段； 主型中折线段数为4， 主型中折线段数为 ，即 N=4 ； 折线段长度为1/3； 折线段长度为 ；
Koch 曲线相似性维数：
(2)
2.第二步再对每个小立 2.第二步再对每个小立 方体进行同样的操作： 方体进行同样的操作： 此时保留下来的小立方 体数目为20 20＝400个 20× 体数目为20×20＝400个； 3.如此反复操作直至无 3.如此反复操作直至无 穷，极限情况下，小立 极限情况下， 方体的体积为零， 方体的体积为零，而其 表面面积之和趋于无穷 大。所以实际得一个面 集，是一个具有自相似 性结构的规则分形系统. 性结构的规则分形系统.
严格自相似分形的相似维数 :
D s = ln N ln r
双对数形式.
康托尔尘埃(Cantor dust) 康托尔尘埃
生成方法： 生成方法：初始元为正 方形， 方形，将初始元分成 16个小正方形 个小正方形( 16个小正方形(如右 保留4 图)，保留4个小正方 形成生成元， 形，形成生成元，无 穷次操作形成一点集, 穷次操作形成一点集, 显然它是一个严格的 自相似形 生成元由4 分形维数 :生成元由4个 与初始元相似比为4 与初始元相似比为4的 注意：分形的相似维数 不一定是分数。 部分组 Ds=ln4/ln4=1