Re k e Re k e y Re T k e Re k T e T k e k T e
y
x

0
T k k T
坐标转换矩阵

k T k T 1
非线性代数方程组的数值解法
1 直接迭代法 2 牛顿法和修正牛顿法 3 拟牛顿法 4 增量方法 5 增量弧长法
材料非线性有限元分析
弹塑性问题的有限单元法
大变形问题的有限单元法
1. 弹性大变形问题的有限元法
2. 物质描述大变形增量问题的T.L 、
U.L法
非线性弹性小变形 非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材 料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材 料单向拉伸Romberg-Osgood模型的关系为 n k( ) E E 式中k和n为拟合的实验参数，E为初始弹性模 量。一般情况下本构关系可表为 ij f ij ( kl )
但其中的弹性系数Gs,μs不再是常数，它们是应 变或应力的函数，分别称为割线弹性系数。可 将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的 割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。
例如对混凝土，Andenaes等依据实验给出， 八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应 变间关系为 oct 3 K s oct oct G s oct octσoct m 并有 Gtt K oct Gs 1 a B G c Ks s G K s G s ( c oct ) p εoct e oct K G 其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量， cB 为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验 确定的常数。
简单来说，势能原理等价平衡，表达为
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
余能原理等价于协调，表达为 VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS = min 利用格林公式，可证明 Ve+ VC=0
平面问题3结点三角形单元的有限元格式
x
转图
五、边界条件(应力,位移)
2.4、 3D问题的基本方程（分量形式，指标形式） 可将2D问题的基本方程推广到3D问题，下图为3D情形 下的应力分量。
微单元体的几种平衡关系
1. 沿x、 y 、z方向上 的所有合力的平衡
2. 沿绕x、 y 、z方向 上的所有合力矩的 平衡
本构关系
对线弹性介质在小变形情况下只有两个独立 的弹性常数，但应力应变（本构）关系有多种 表示形式： 用G和μ表示 1 2G ( ij ij kk ) ij ij kk 2G ij ij 2G 1 1 2 用G和体积模量K表示 1 ij 2Geij ij m K kk ij 2Geij 3 1 1 ij kk ij sij 9K 2G
2 2 2
1.2.2 增量形式本构关系 增量本构关系的表达形式为 t d ij f ij , kl d kl Dijkl d kl t Dijkl 为切线弹性张量，形式上仍可表为 式中
D
t ijkl
解的广义坐标β1～β3为：
（a）
（5－2）
其中：
把（5－2）式写成矩阵形式有：
收敛准则 1、位移模式必须包含单元的刚体位移 2、位移模式必须能包含单元的常应变 3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调 满足条件1、2的单元为完备单元 满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选 几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关 多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总 数。 帕斯卡三角形
在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增 量形本构关系。
全量形式本构关系 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相 同，也即 s ij Dijkl kl s Dijkl 为割线弹性张量，形式上它仍可表为 式中
D
s ijkl
2Gs s ij kl 2Gs ik lj 1 2 s
12 0
22 1
12 D121212 2G12
E 2(1 ) G 12 12 2(1 ) E
虚位移原理与虚力原理
1. 虚位移原理和最小势能原理
1） 虚位移原理的虚功方程——矩阵表达
体积力虚功
表面力虚功
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS
1、结构离散
2、确定单元位移模式及插值函数
在有限单元法中单元的位移模式一般采用多项式作为近视函数，因 此多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的 函数曲线。多项式的选取由低次到高次。 3结点三角形单元位移模式选取一次多项式：
单元内的位移是坐标x，y的线性函数。β1～β6是待定系数，称之 为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。把上式代 入代入单元3个结点i、j、m在x方向的位移ui，可得： （5－1）
利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可 写出有限元分析中的弹性矩阵(D)。 例如，当以G和μ表示时，以张量形式表示的 本构关系为
2G ij Dijkl kl ( ij kl 2G ik lj ) kl 1 2 由此可获得弹性张量Dijkl。其他可仿此写出。
弹性张量Dijkl
vi ui sin vi cos ,
0 0 1
x
0 t
ui ui cos vi sin ,
cos t sin 0 sin cos 0
i i
i t i
t T 0
单元应力可以根据物理方程求得： 其中：
S称为应力矩阵，
4 利用最小势能原理建立有限元方程
最小势能原理的泛函总位能Ⅱp的表达式，在平面问题中采用矩阵表达形式为：
对于离散模型，系统势能是各单元势能之和，利用单元的位移表达式代入上式有：
将以上各式代入泛函表达式，离散形式的总位能可表示为：
所以有： 这样我们得到有限 元的求解方程是：
5 引入位移边界条件
单元刚度矩阵的坐标变换
Re , e , [k ]表示单元在局部坐标系oxy的结点力, 结点位移, 刚度矩阵
Re , e , [k ]表示单元在整体坐标系oxy的结点力, 结点位移, 刚度矩阵
Re T Re e T e T 坐标转换矩阵
式中应力和应变偏张量分别为
sij 2Geij
1 1 ij eij kk ij eij v ij 3 3
如果用拉梅（Lame）常数表示，则有 kk ij 2G ij kk ij kk 3 2G ij ij kk ij 2G 2G 弹性常数间有如下关系
2 虚力原理
1）虚力原理的表述 给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵） ∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS
虚余变形功 虚反力功 表面给定位移
虚功方程——张量表达
∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
2） 余能原理
1 2 2 2 POCT X OCT YOCT Z OCT 1 2 3 3 1 OCT X OCT l YOCT m Z OCT n ( 1 2 3 ) 3 2 2 2 2 2 2 OCT POCT OCT 12 23 31 8 3
和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力 原理 ∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS 可得 δ(1/2∫V[ε]T [ζ]dV-∫Su([L] [ζ])T [u ]0dS)=0 记VC如下所示，并称为变形体的总余能 VC=1/2∫V[ε]T [ζ]dV-∫Su([L] [ζ])T [u ]0dS 则由δVC=0可得 余能原理 在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态 为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取 驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。
同济大学土木学院桥梁工程系
有限单元法II
——2004级硕士生课程
主讲教师：周志勇
(副教授)
同济大学土木工程桥梁工程系
2.2 弹性体的基本假设
基本假定 （1）物体内的物质连续性假定：物质无空隙，可用连续 函数来描述 （2）物体内的物质均匀性假定：物体内各个位置的物质 具有相同特性； （3）物体内的物质（力学）特性各向同性假定：物体内 同一位置的物质在各个方向上具有相同特性； （4）线性弹性假定：物体的变形与外力作用的关系是线 性的，外力去除后，物体可恢复原状； （5）小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在 建立方程时，可以高阶小量（二阶以上）。
有限元(二)的具体内容
材料(非线性)本构关系 固体力学大变形基础 非线性方程组的解法 材料非线性有限元分析 大变形有限元分析 边界元法－流体计算
弹塑性本构关系简介
1 弹塑性力学有关内容简介
2 几种常用弹塑性材料模型简介
3 弹塑性矩阵的建立步骤
固体力学大变形基本知识
1. 2. 3. 4. 物体运动的物质描述 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力 大变形时平衡方程和虚位移原理 大变形本构关系
x
1
y
常数项 线性项
x5
x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy3 y 4 x 4 y x 3 y 2 x 2 y 3 xy 4 y 5
对称轴
二次项 三次项 四次项 五次项
3、应变矩阵和应力矩阵
确定了单元位移后，可以方便地利用几何方程和物理方程求得 单元的应变和应力，因此有：