分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)， 对称轴是x＝2. (2) 当x＝1时，y＝0，即图 象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容 易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当 x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0， －6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的 轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个 点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4， －6)连结起来，就是 y 2x2 8x 6 的0图象。
y＜0；
x=2
(4)当x＝2时，
· · （0,－6）
（4,－6）
y有最大值2。
练习3 画出 y x2 2x 2 的图像。 x … －1 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 5…
y=x2－2x＋2 x=1
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标

x1,0, x2,0，其中 x1, x2为方程ax2 bx c 0
的两实数根
(7)抛物线 y ax2 bx c 与x轴的交点情况 可由对应的一元二次方程ax2 bx c 0 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
2a
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
解： (1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；
判断b的符号
(2)因为对称轴在y轴右侧，所以 b 0 ，而a＜0，故b＞0；
2a
判断c的符号
(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点 的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正 半轴，即c＞0；
判断b2－4ac的符号
(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
由图像知：
· · （1,0）
（3,0）
x
(1)当x＝1或x＝3时， y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
2
2
2
2
Q b
1
1,
4ac b2

4



1 2



5 2

12

4
2
2a
y
21
1 2
x


1
2
4a
2
，
4



1 2

2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
4ac 4a
b2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x


b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x


b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x


b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x


b 2a
时，y随x的增大而增大。
(6)抛物线 y ax2 bx c 与坐标轴的交点
①抛物线 y ax2 bx c 与y轴的交点坐标 为（0，c） ②抛物线y ax2 bx c与x轴的交点坐标为
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，利用函 数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
解法一：Q a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
随x的增大而减小。
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
4ac b2 4a
0，且a＜0，所以4ac b2
0，故
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
(5)因为顶点横坐标小于1，即
b 2a
1
，
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号

b a
x


b 2a
2



b 2a
2


c
a


a

x

b 2a
2

4ac b2 4a2


a

x

b 2a
2


4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是


b 2a
顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y

1 2
x2

3x

5 2

1 2
x2

6x
5

1 x2
2

6x

9 9 5

1 2

x

32

4
1 x 32 2
2
解法二：
Q a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
Q b 3 3
2a
2



1 2

∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
例7 已知二次函数
y m 1 x2 2mx 3m 2m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
4a
4 1
k2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即

b
k 4

0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ，整理得
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
分析：已知的是几何关系(图形的位置、 形状)，需要求出的是数量关系，所以应 发挥数形结合的作用．
判断a的符号
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
y

ax2

bx

c
a

x2

b a
x

c a


a
x2
1 2

2

,
即y 1 x2 x 1
2
2
。