第五章 异方差性 思考题5.1 简述什么是异方差 ? 为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关 ?5.2 试归纳检验异方差方法的基本思想 , 并指出这些方法的异同。

5.3 什么是加权最小二乘法 , 它的基本思想是什么 ?5.4 产生异方差的原因是什么 ? 试举例说明经济现象中的异方差性。

5.5 如果模型中存在异方差性 , 对模型有什么影响 ? 这时候模型还能进行应用分析吗 ?5.6 对数变化的作用是什么 ? 进行对数变化应注意什么 ? 对数变换后模型的经济意义有什么变化 ? 5.7 怎样确定加权最小二乘法中的权数 ? 练习题5.1 设消费函数为 12233i i i i Y X X u βββ=+++其中,i Y 为消费支出；2i X 为个人可支配收入；3i X 为个人的流动资产；i u 为随机误差项 ,并且 E(i u )=0,Var(i u )= 222i X σ( 其中2σ为常数) 。

试回答以下问题 :1) 选用适当的变换修正异方差 , 要求写出变换过程 ; 2) 写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

5.2 根据本章第四节的对数变换 , 我们知道对变量取对数通常能降低异方差性 , 但需对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。

例如 ,设模型为21Y X u ββ=,对该模型中 的变量取对数后得12ln ln ln ln Y X u ββ=++1) 如果ln u 要有零期望值 ,u 的分布应该是什么 ? 2) 如果 E(u )=1, 会不会 E(ln u )=0? 为什么 ? 3) 如果 E(ln u ) 不为零 , 怎样才能使它等于零 ?5.3 表 5.8 给出消费 Y 与收入 X 的数据 , 试根据所给数据资料完成以下问题 :1) 估计回归模型12Y X u ββ=++中的未知参数1β和2β, 并写出样本回归模型的书写格式；2) 试用 GOMeld-Quandt 法和 White 法检验模型的异方差性 3 3) 选用合适的方法修正异方差。

5.4 表 5.9 给出 1985 年我国北方地区农业总产值 , 农用化肥量、农用水利、农业劳动力、户均固定资产以及农机动力数据 , 要求 :1) 试建立我国北方地区农业产出线性模型 ;2) 选用适当的方法检验模型中是否存在异方差 ;3) 如果存在异方差 , 采用适当的方法加以修正。

地区农业总产值（亿元）农业劳动力（万人）灌溉面积（万公顷）化肥用量(万吨）户均固定资产（元）农机动力（万马力）北京19.64 90.1 33.84 7.5 394.3 435.3 天津14.4 95.2 34.95 3.9 567.5 450.7 河北149.9 1639 .0 357.26 92.4 706.89 2712.6 山西55.07 562.6 107.9 31.4 856.37 1118.5 内蒙古60.85 462.9 96.49 15.4 1282.81 641.7 辽宁87.48 588.9 72.4 61.6 844.74 1129.6 吉林73.81 399.7 69.63 36.9 2576.81 647.6 黑龙江104.51 425.3 67.95 25.8 1237.16 1305.8 山东276.55 2365.6 456.55 152.3 5812.02 3127.9 河南200.02 2557.5 318.99 127.9 754.78 2134.5 陕西68.18 884.2 117.9 36.1 607.41 764 新疆49.12 256.1 260.46 15.1 1143.67 523.3 *1马力=0.735kW5.5 表 5.10 中的数据是美国 1988 研究与开发 (R&D) 支出费用 (Y) 与不同部门产品销售量 (X) 。

试根据资料建立一个回归模型 , 运用 Glejser 方法和 White 方法检验异方差 , 由此决定异方差的表现形式并选用适当方法加以修正。

表 5.10 美国工业群体销售、研发、利润数据 ( 单位 :106 美元 ) 工业群体销售量X R&D费用Y 利润Z1.容器与包装6375.3 62.5 185.12.非银行业金融11626.4 92.9 1569.53.服务行业14655.1 178.3 276.84.金属与采矿21869.2 258.4 2828.15.住房与建筑26408.3 494.7 225.96.一般制造业32405.6 1083 3751.97.休闲娱乐35107.7 1620.6 2884.18.纸张与林木产品40295.4 421.7 4645.79.食品70761.6 509.2 5036.410.卫生保健80552.8 6620.1 13869.911.宇航95294 3918.6 4487.812.消费者用品101314.3 1595.3 10278.913.电器与电子产品116141.3 6107.5 8787.314.化工产品122315.7 4454.1 16438.815.五金141649.9 3163.9 9761.416.办公设备与电算机175025.8 13210.7 19774.517.燃料230614.5 1703.8 22626.618.汽车293543 9528.2 18415.4 5.6 表 5.11 给出收入和住房支出样本数据 , 建立住房支出模型。

表 5.11 收入和住房支出样本数据假设模型为12i i i Y X u ββ=++, 其中 ,Y 为住房支出 ,X 为收入。

试求解下列问题 :1) 用OLS 求参数的估计值、标准差、拟合优度。

2) 用 GoMeld-Quandt 方法检验异方差 ( 假设分组时不去掉任何样本值 ) 。

3) 如果模型存在异方差 , 假设异方差的形式是222I i X σσ=,试用加权最小二乘法重新估计1β和2β的估计值、标准差、拟合优度。

5.7 表 5.12 给出 1969 年 20 个国家的股票价格变化率 (Y) 和消费者价格变化率 (X) 的一个横截面数据。

表 5.12 1969 年 20 个国家的股票价格变化率 {Y} 和消费者价格变化率 {X} 国家 股票价格变化率%Y 消费者价格变化率%X 1.澳大利亚 5 4.3 2.奥地利 11.1 4.6 3.比利时 3.2 2.4 4.加拿大 7.9 2.4 5.智利 25.5 26.4 6.丹麦 3.8 4.2 7.芬兰 11.1 5.5 8.法国 9.9 4.7 9.德国 13.3 2.2 10.印度 1.5 4 11.爱尔兰 6.4 4 12.以色列 8.9 8.4 13.意大利 8.1 3.3 14.日本 13.5 4.7 15.墨西哥 4.7 5.2 16.荷兰 7.5 3.6 17.新西兰 4.7 3.6 18.瑞典 8 419.英国7.5 3.920.美国9 2.1试根据资料完成以下问题 :1) 将 Y 对 X 回归并分析回归中的残差 ;2) 因智利的数据出现了异常 , 去掉智利数据后 , 重新作回归并再次分析回归中的残差;3) 如果根据1款的结果你将得到有异方差性的结论,而根据2款的结论你又得到相反的结论 , 对此你能得出什么样的结论 ?5.8 表 5.13 给出的是1998年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据。

1) 求销售利润岁销售收入的样本回归函数 , 并对模型进行经济意义检验和统计检验;2) 分别用图形法、Glejser方法、White方法检验模型是否存在异方差 ;3) 如果模型存在异方差 , 选用适当的方法对异方差性进行修正。

5.9 表 5.14 所给资料为 1978~2000 年四川省农村人均纯收入X和人均生活t费支出Y的数据。

s1) 求农村人均生活费支出对人均纯收入的样本回归函数 , 并对模型进行经济意义检验和统计检验 ;2) 选用适当的方法检验模型中是否存在异方差 ;3) 如果模型存在异方差 , 选用造当的方法对异方差性进行修正。

5.10 在 5.9 中用的是时间序列数据 , 而且没有剔除物价上涨因素。

试分析如果剔除物价上涨因素 , 即用实际可支配收入和实际消费支出 , 异方差的问题是否会有所改善? 由于缺乏四川省 1978 年后的农村居民消费价格定基指数 , 以 1978-2000年全国商品零售价格指数(1978年为100)代替 , 如表5.15所示。

表 5.151978~2000 年全国商品零售价格指资料来源 : 中国统计年鉴 2001第五章 异方差性 思考与练习1. 简述什么是异方差?为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关？答：异方差性是指模型违反古典假定中的同方差性，即各残差项的方差并非相等。

一般地，由于数据观测质量、数据异常值、某些经济变化的特性、模型设定形式的偏误等原因，导致了异方差的出现。

主要原因往往是重要变量的遗漏，所以很多情况下，异方差表现为残差方差随着某个（未纳入模型的）解释变量的变化而变化。

2. 归纳教材中所介绍的检验异方差的方法的基本思想。

答：本书中给出了5种检验方法：Goldfeld －Quandt 检验，Glejser 检验，Breusch-Pagan 检验，White 检验，ARCH 检验。

其共同的基本思想是：判断随机误差项与解释变量观测值之间的相关性。

对上述每一种检验来说，具体的寻找误差项与解释变量的关系的方法手段有所不一样。

3.什么是加权最小二乘法，它的基本思想是什么？答： 加权最小二乘法是对各个残差的平方赋予不同的权重后求和，求解参数估计值，使加权之后的残差平方和最小。

这种确定参数估计值的方法称为加权最小二乘法。

其基本思想是：在异方差的情形下，方差越小，偏离均值的离散程度越小，越应该受到重视。

即e i 的方差越小，在确定回归线时起的作用越大，反之，起的作用越小。

这样，应该对方差小的e i 赋予较大的权重，对方差大的e i 赋予较小的权重，让各个e i 2提供的信息大致一致。

4.判断下列说法是否正确，并简要说明为什么。

（1） 当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性；答：不正确。

这个时候估计式是无偏的，但是不具有最小方差性。

（2） 当异方差出现时，常用的t 和F 检验失效；答：正确。

由于方差不是常数而是变数，这时一般意义上t 比值的分布是未知的，但肯定不再遵从t-分布，使得t 检验失效；同理，在异方差条件下，F 比值也不再是遵从F-分布，F 检验也失效。

（3） 异方差情况下，通常的OLS 估计一定高估了估计量的标准差；答：一般是低估了其标准差。

（4） 如果OLS 回归的残差表现出系统性，则说明数据中有异方差性；答：是，但同时也要考虑自相关性的存在。