北师大版九年级数学
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题
知识点：
1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c
（勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理）2、如下图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
定
义
表达式
取值范围关系
正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =
sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B
A sin cos =1
cos sin 22=+A A 余弦斜边的邻边A A ∠=cos c b A =
cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)正切的邻边
的对边A tan ∠∠=
A A b
a A =
tan 0tan >A (∠A 为锐角)余切
的对边
的邻边A ot ∠∠=
A A c a b
A =
cot 0cot >A (∠A 为锐角)
1
A cot A tan =⨯B
A tan cot =（注：余切函数已经从北师大版教材当中删除，此处仅做扩展，实际中考当中并不会出现，同时删除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容）
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B
A cos sin =B
A sin cos =)
90cos(sin A A -︒=)
90sin(cos A A -︒=4、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要必背)
三角函数
30°
45°
60°
α
sin 2
1222
3αcos 232
22
1α
tan 3
31
3
A
90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边
斜边A
C
B
b
a c
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，
解直角三角形的定义
1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

:i h l
=h
l
α
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h
i l
=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h
i l
α=
=。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

所以,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

例1：已知在Rt ABC △中，3
90sin 5
C A ∠==°，，则tan B 的值为（
）A．43B．45C．54D．
34
【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c =
，tan b
B a
=和222a b c +=；由3sin 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44
tan 33
b x B a x ===，
所以选A．
例2：104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．
【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，
104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=3313412222
⎛⎫⨯
⨯+--= ⎪⎝⎭，故填3
2
．
1.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）
A．8米
B．83米
C．
83
3
米D．
43
3
米2.一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（）
A．5sin 40°B．5cos 40°C．5tan 40°D．
5
cos 40°
3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（）
A．
8
33
m B．4m C．43m
D．8m
4.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（
）
A．53米B．10米C．15米
D．103米
5．如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（）
A．3
B．5
C．2
5D．
2
25A
B
C
D
150°h
6.如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为米（精确到0.1）.
1.414
≈ 1.732）
7.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.
解：过点A作直线BC的垂线，垂足为点D.
则90
CDA
∠=°，60
CAD
∠=°，30
BAD
∠=°，CD=240米.
在Rt ACD
△中，tan
CD CAD
AD ∠=
，
tan60
CD
AD
∴===
°
在Rt ABD
△中，tan
BD
BAD
AD
∠=
，
tan3080
3
BD AD
∴===
·°.
∴BC CD BD
=-=240-80=160.
答：这栋大楼的高为160
米.
C
8.如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D、B、C 在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据：141.12=，732.13=，449.26=，以上结果均保留到小数点后两位．）
解：（1）在Rt△ABC 中，∠ABC=45°
∴AC=BC=AB·sin45°=222
2
4=⨯
在Rt△ADC 中，∠ADC=30°
∴AD=2421
2230
sin =÷=o
AC ∴AD-AB=66
.1424≈-∴改善后滑滑板会加长约1.66米.（2）这样改造能行，理由如下：∵989.46233
2230
tan ≈=÷==
o
AC CD ∴07.22262≈-=-=BC CD BD ∴6-2.07≈3.93＞3
∴这样改造能行.
练一练
9
．求值1
01|2|20093tan 303-⎛⎫
-+--+ ⎪⎝⎭
°
2009
12sin 603tan 30(1)3⎛⎫
-++- ⎪⎝⎭
°°原式=．
解：原式=。