第五章 数 列
第一节 数列的概念与简单表示法
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类：
(3)数列的通项公式：
如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式
如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
[小题能否全取]
1．数列1，23，35，47，5
9
…的一个通项公式是 ( )
A ．a n ＝n 2n ＋1
B ．a n ＝n 2n －1
C ．a n ＝n
2n －3
D ．a n ＝n
2n ＋3
2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为 ( )
A ．15
B ．16
C ．49
D ．64
3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n
n ＋1
，则这个数列是 ( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列
4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2·
3n －
1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.
5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝3
2
，则a 8＝________.
1．B 2．A 3．A 4．答案：54 5．答案：9
4
小结
1.对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．
由数列的前几项求数列的通项公式
典题导入
[例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是 ( )
A ．a n ＝1
B ．a n ＝(－1)n ＋12
C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2
D ．a n ＝(－1)n －
1＋32
[答案] C
若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________．
答案：a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
0(n 为奇数)，1(n 为偶数).
⎝⎛⎭
⎫或a n ＝1＋(－1)n
2或a n
＝1＋cos n π2
由题悟法
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n
＋1
来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
以题试法
1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，31
32，…；
(3)3,33,333,3 333，…； (4)－1，32，－13，34，－15，3
6，….
解：(1)a n ＝2n ＋1 (2)a n ＝2n －12n (3)a n ＝1
3
(10n －1)．
(4)奇所以a n
＝(－1)n
·2＋(－1)
n
n ，也可写为a n
＝⎩⎨⎧
－1
n ，n 为正奇数，3
n ，n 为正偶数.
由a n 与S n 的关系求通项a n
典题导入
[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n .
(1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.
答案：(1)a n ＝4n ＋1.(2)a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4， n ＝1，
2×3n －
1， n ≥2. 由题悟法
已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；
(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；
(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．
以题试法
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1
，则1
a 5＝ ( )
A.56
B.65
C.1
30
D ．30
解析：选D
数列的性质
典题导入
[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.
(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？
(1)－90.(2)该数列的前19或20项和最小．
在本例条件下，设b n ＝a n
n
，则n 为何值时，b n 取得最小值？并求出最小值．
解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20
n
－21，
令f (x )＝x ＋20x －21(x >0)，则f ′(x )＝1－20
x 2，由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－25(舍)．而4<25
<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减；当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋20
4－21＝－12，b 5
＝5＋20
5
－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得最小值，最小值为－12.
由题悟法
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值． 2．前n 项和最值的求法
(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
以题试法
3．数列{a n }的通项a n ＝n
n 2＋90
，则数列{a n }中的最大值是 ( )
A ．310
B ．19 C.1
19
D.
1060
解析：选C
拓展
1．累加法
[典例1]数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11
[答案] B 2．累乘法
[典例2]已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2
3a n .
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
[解] (1)由S 2＝4
3
a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.
由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝3
2(a 1＋a 2)＝6.
(2)由题设知a 1＝1.
当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝
n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1
n －1a n －1
. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n
n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.
将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)
2
. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)
2.
3．构造新数列
[典例3] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；则a n ＝________. [解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，
∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －
1－1. [答案] 2×3n －
1－1。