各种有趣得分形我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。

但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么?"这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西、可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问图中得风景图片又就是说明分形得另一很好得例子、这张美丽得图片就是利用分形技术生成得。

在生成自然真实得景物中,分形具有独特得优势,因为分形可以很好地构建自然景物得模型。

这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发现,它得每个枝杈都在外形上与整体相同,仅仅在尺寸上小了一些、而枝杈得枝杈也与整体相同,只就是变得更加小了。

Sierpinski三角形具有严格得自相似特性Kｏhｎ雪花具有严格得自相似特性分维及分形得定义分维概念得提出对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。

但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得。

曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。

分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。

维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵。

整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。

这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。

例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。

但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得、特别就是由于分形几何对象更为不规则,更为粗糙,更为破碎,所以它得分数维(简称“分维”,记为D)不小于它得拓扑维,即Ｄ≥d。

维数与测量有密切关系。

如为了测一平面图形得面积,就要用一个边长为l、面积为l２得标准面元去覆盖它,所得得数目就就是所测得面积。

如果用长度l去测面积,就会得到无穷大;而如果用l3去测这块面积,结果就就是零。

这就表明,用n维得标准体lｎ去测量一个几何对象,只当ｎ与拓扑维数d一致时,才能得出有限得数值。

如果ｎ〈d,就会得到无穷大;如果n>d,则结果为零。

分数维也就是按照这个要求来定义得。

由于分形得复杂性有多种不同类型,所以可以提出不同定义得分维概念,从不同得角度表示分形得不规则性。

通常用得就是“容量维”。

简单地说,分维所表示得不规整程度,相当于一个物体占领空间得本领。

一条光滑得一维直线,完全不能占领空间;但就是“科赫曲线”却有无穷得长度,比光滑得直线有更多得折皱,拥挤在一个有限得面积里,得确占领了空间,它已不同于一条直线,但又小于一个平面。

所以它大于一维,又小于二维,它得容量维为１.2618,这瞧来就是理所当然得。

海岸线得分维数通常在１。

15到1、２5之间。

曼德尔布罗特指出,对于各种分形来说,即使在不同得尺度上,用分维表示得不规整程度却就是一个常量。

这真就是一个令人惊奇得性质,也表明“分维"概念得客观现实特性。

分维所表征得正就是大自然得规则得不规则性。

一个分形得曲线意味着一种有组织得结构,这个结构隐藏在奇特怪异得形状之中、分数维概念我们知道0维就是点,一维就是线,二维就是面,三维就是空间。

那么,谁能告诉我1、5维就是什么？一条直线段就是一维得,由四条这样得直线段组成得正方形就是二维得。

六个这样得正方形组成得正方体就是三维得。

直线得长度数值,正方形得面积数值与立方体得体积数值都与我们测量得单位有关、测量得单位也往往就是我们所能分辨得最小单位。

假设我们得分辨能力增加了一倍,因此我们把直线段长度单位减小到原单位得一半,直线段长度得计量值就变为原来得两倍,正方形面积就变为原来得四倍,体积则变为原来得八倍。

我们有下式:log4/log2=2 log8/ｌog2＝3这里得二与三不就是巧合,这就是另一种维数得定义:测度维得概念。

为了定量地描述客观事物得“非规则"程度,１９１９年,数学家从测度得角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数得界限、如果某图形就是由把原图缩小为１／λ得相似得b个图形所组成,有:λ＾Ｄ＝ｋD即维数Ｄ=logk/lｏgλ其中得λ为线度得放大倍数,K为“体积"得放大倍数、回到海岸线长度得问题。

当用直线段来近似曲线时,长度单位减为原来得一半往往意味着我们可以用长度为原来得二分之一得直线段来近似曲线。

这时,海岸线长度增加程度近似于一个固定得倍数。

对于英国海岸线来说,其值约为2、7,而lｏg2。

7/ｌｏg２=1、４１,１、41就就是英国海岸线得维数。

１.４1由于就是一个分式所得出得比值,因此人们称之为分数维。

还有其她一些分数维得定义方法,但得出得结果都比较近似、分数维就是衡量分形得基本参数之一。

自然界得山,其分形维数在2.2维左右,但从2、１维到2。

5维画出来得都有一定得山得效果。

下面详细介绍分维及计算1)新得维数(全维数:整数维+分维)a、由欧氏几何得”整数维”引出得非欧几何-—－—分维:a)。

欧氏几何得”整数维＂欧氏几何学就是一门具有2000多年历史得数学分支,她就是以规整几何图形为其研究对象得。

有线性与曲线两大类.这些规整几何图形得点,直线,平面图形(曲线),空间图形得维数(欧氏维数)都就是整数维,分别为０,1,2,3。

对规整几何图形得几何测量就是指长度,面积与体积得测量、则上述两类几何图形得测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:i。

长度＝l,面积=ｌ2 ,体积＝l3ii。

长度(半径)＝r1,面积=πr2,(球)体积=(4/3)πr３上述各种关系得量纲分别就是长度单位ｌ得1,2,3次方,即这些方次恰与该几何图形得欧氏维数相等,并且就是整数、归结上述两点,各类几何图形得测量都就是以长度l为基础得。

所以,欧氏几何中对规整几何图形得测量,可以概括表述为长度=l 面积A＝aｌ２体积V＝ｂｌ3式中a与b为常数,称为几何因子,她与具体得几何图形得形状有关。

如圆a＝π;球b＝4π／３。

以上都就是欧几里得几何规则图形得整数维。

而对于不规则得非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧几里得测度———－长度,宽度,厚度-—--不能抓住不规则形状得本质,于就是曼德勃罗特转向新得想法,即关于维数得新想法.b)、非欧几何得＂分维＂欧氏几何中得空间就是3维得,平面就是2维得,直线就是1维得,而点就是０维得。

那末,一个线团得维数如何呢?这与观察方法有关、远瞧,她就是一个点,就是0维;近些瞧,象球,有空间3维感;再近瞧,就瞧到了绳子,又成为１维得了.引发人们注意到几何中也具有”相对关系",以及维数得多样性、曼德勃罗特"越过”了0,１,2,3,、、。

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得"传统整数维”(同时也超越了传统观念),进入了瞧起来象就是不可能得"分数维数”,分维出现了。

从概念上说,这就是一场走钢丝表演,就是冒险。

对于非数学家,"外行",(年轻得)新手,生手,即开拓创新者(或所谓得"半瓶子醋＂),她要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路.而对数学家或该行业保守得专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破。

而事实证明前者得方法与策略就是极为强劲有力得成就大功者.分维与古典得欧几里得维数就是有联系得。

将欧氏维数统一扩展成Ｍ=lｄ则由对数定义可知,指数d可以表示为以l为底得,M得对数,即ｄ＝l ｏgｌM经用换底公式换底,就可以得到关于维数得解析通式,分维中广泛使用得关系式d=lnＭ／lnｌ她可以被瞧成就是各种维数得综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)得由来或基准式.分维就是一种测度,就是用其它方法不能明确定义得一些性质——--一个对象粗糙,破碎或不规则程度－——-得手段。

即对某种特征性得粗糙度得量度。

就是有规则得不规则性得反映、此法得关键要点就就是使在不同得尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)得程度保持恒定、2)。

拓扑维与豪斯道夫维——维数得定义连续空间得概念,空间维数就是连续得,不就是间断离散得。

对数,换底,拓扑维数就是比分形维数更基本得量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换得基础上就是不变得,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样得集合得拓扑维数就是0,而可转换成直线那样得集合得拓扑维数就是 1.所以,拓扑维数就就是几何对象得经典维数Ｄｔ=d。

拓扑维数就是不随几何对象形状得变化而变化得整数维数。

对于任何一个有确定维数得几何体,若用与它相同维数得”尺r”去度量,则可得到一确定得数值Ｎ;若用低于它维数得"尺＂去量它,结果为无穷大;若用高于它维数得"尺”去量它,结果为零。

其数学表达式为:N(r)～ｒ-Ｄh.上式两边取自然对数,整理后可得Dｈ=lｎN(r)/ln(1／ｒ) 或Dh＝lim［lｎN(σ)/ln(1／σ)]σ→0式中得Dｈ就称为豪斯道夫维数,它可以就是整数,也可以就是分数、欧氏几何体,它们光滑平整,其D值就是整数、人们常把豪斯道夫维数就是分数得物体称为分形,把此时得Dｈ值称为该分形得分形维数,简称分维、也有人把该维数称为分数维数、当然还必须瞧其就是否具有自相似性与标度不变性.维数得其它定义(１) 信息维数Di ＝lim (∑PilｎPi/lnσ) σ→0(2) 关联维数Dg = liｍ(lnC(σ)/ln(1/σ)) σ→0(３) 相似维数Ds= lnN/ln(１/r)(４) 容量维数Dc = lｉｍ(lｎＮ(ε)／ｌｎ(1/ε))σ→0Dc≥Dh(5) 谱维数Ｄ(分形子维数)-—就是研究具有自相似分布得随机过程,如随机行走得粒子得统计性质,可用渗流模型来描述得多孔介质,高聚物凝胶(经络得通道及传质)等一类＂蚂蚁在迷宫中”得问题。

(6) 填充维数Dp——由半径不同得互不相交得小球尽可能稠密得填充定义得维数称之为填充维数(Packing Dimension)、(７) 分配维数Dd——可以瞧成就是利用两脚间隔距离为σ得两脚规测量曲线C所得得"长度＂。

即定义为Dｄ= ｌiｍ(lnMσ(Ｃ)／(－ｌnσ)) σ→0曲线得分配维数至少等于盒维数、(8) 李雅普诺夫(Lyaｐunｏv)维数Dl-—就是作为混沌得吸引子维数,她就是利用Ｌyaｐunoｖ指数来定义得、奇怪吸引子得断面图总就是呈分形构造得(经络得断面切片),因此就可以测定其分形维数。