最新高考数学极值点偏移问题专题复习
【例1】已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（ B ） A ．当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，，
【例2】设函数,若的图像与图像有且仅有两
个不同的公共点,则下列判断正确的是（ D ） A ．当时,
B ．当时,
C ．当时,
D ．当时,
【例3】设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（ B ）
A ．当时,
B ．当时,
C ．当时,
D ．当时,
【例4】（2010东城二模）已知函数． (Ⅰ) 若函数在上为单调增函数，求的取值范围； (Ⅱ) 设，，且，求证：
．
解：(Ⅰ) )0(2)(2
3≠-+=a bx ax x f 1x 2x 0<a 021<+x x 021>x x 0<a 021>+x x 021<x x 0>a 021<+x x 021>x x 0>a 021>+x x 021<x x 32
()2,()f x g x ax bx ==+()y f x =()y g x =1122(,),(,)A x y B x y 0a <12120,0x x x x +<<0a <12120,0x x x x +>>0a >12120,0x x x x +<>0a >12120,0x x x x +<<21
(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x
=
=+∈≠()y f x =()y g x =1122(,),(,)A x y B x y 0a <12120,0x x y y +<+>0a <12120,0x x y y +>+<0a >12120,0x x y y +<+<0a >12120,0
x x y y +>+>(1)
()ln 1
a x f x x x -=-
+()f x (0,)+∞a m n +
∈R m n ≠ln ln 2
m n m n
m n -+<-'
21(1)(1)
()(1)
a x a x f x x x +--=
-+
．………………………………………3分 因为在上为单调增函数， 所以在上恒成立．
即在上恒成立． 当时，由， 得． 设，． ． 所以当且仅当，即时，有最小值． 所以． 所以．
所以的取值范围是．…………………………………………………………7分 (Ⅱ)不妨设，则
． 要证
，
只需证， 即证．
22
(1)2(1)x ax x x +-=+22
(22)1
(1)x a x x x +-+=+()f x (0,)+∞'
()0f x ≥(0,)+∞2
(22)10x a x +-+≥(0,)+∞(0,)x ∈+∞2
(22)10x a x +-+≥122a x x
-≤+
1
()g x x x
=+
(0,)x ∈
+∞1()2g x x x =+
≥=1
x x
=
1x =()g x 2222a -≤2a ≤a (,2]-∞0m n >>1m
n
>ln ln 2
m n m n
m n -+<-11
2ln m m
n n
m n
-+<2(1)ln 1m m n m n n
->+
只需证．……………………………………………………………11分
设． 由(Ⅰ)知在上是单调增函数，又
， 所以． 即成立．
所以
．………………………………………………………………14分
【例5】（2010天津）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，证明：当时，.
（Ⅲ）如果，且，证明：. 解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1
当x 变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。

2(
1)
ln 01m m
n m n n
-->+2(1)
()ln 1
x h x x x -=-
+()h x (1,)+∞1m
n
>(
)(1)0m
h h n
>=2(
1)
ln 01m m
n m n n
-->+ln ln 2
m n m n
m n -+<-)()(R x xe x f x
∈=-()f x ()y g x =()y f x =1x =1x >()()f x g x >12x x ≠12()()f x f x =122x x +>()(1)x
x x e -=-,1-∞1,+∞
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x -2>0,从而’(x)>0,从而函数F （x ）在[1,+∞)
是增函数。

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）
若 （2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>
.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内增函数，
所以>,即>2.
【例6】（2011辽宁）已知函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设 ，证明：当 时， ； （Ⅲ）若函数的图像与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为 ，证明：
.
解：（I ） （i ）若单调增加.
1e
2
x e
-2()(2)x
x F x xe x e --=+-22
'()(1)(1)x x F x x e
e --=--2x-2
e 10,0,F x e -->>又所以-1-1
e e 0-=，所以x>1时，有121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。

121212(1)(1)0,)),.x x x x x x -->I ==≠12由（）及f(x f(x 得与矛盾。

1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设)2f(x )2g(x )2g(x )2f(2-x )2f(x )2f(2-x )1f(x )2f(2-x 21x >221x -<1x 22x -12x x +2
()ln (2)f x x ax a x =-+-()f x 0a >10x a <<
11
()()f x f x a a
+>-()y f x =0x '0()0f x <()(0,),f x +∞的定义域为1(21)(1)
()2(2).x ax f x ax a x x
+-'=
-+-=-0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在。