解：用安培环路定律，
当计算的点位于柱内（r<a），
B
=
µ0 J 0 3a
r 2eφ
r>a
时， B
=
µ0 J 0 3r
a 2eφ
4-9 有一圆截面的环形螺线管，其圆形截面积为 S，平均半径为 l，铁环的相对 磁导率为 µr，环上绕的线圈匝数为 N，通过恒定电流 I。假设铁心内部的磁 场均匀分布且空气中没有漏磁，求：(1)铁心内磁场强度 H 和磁感应强度 B； (2)环内的总磁通；(3)计算该螺线管的电感。(4)磁场能量。
b) F = Areφ
c) F = 12(xex − yey )
d) F = 4er + 3reθ
e) F = − Aex + Aey
f) F = 3rer + 2e z
解：由恒定磁场的基本方程 ∇ ⋅ B = 0 ，满足该式的矢量可能表示磁感应强度 B，
否则不表示磁感应强度。由 ∇ × H = J 求的电流密度 J。
=
8 r
+ 3cotθ
≠
0 ，F
不表示磁感应强度
B。
e) ∇ ⋅ F = − ∂A + ∂A = 0 （A 为常数）， J = ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ F = 0
∂x ∂y
µ0
µ0
f) ∇ ⋅ F = 1 ∂ (r3r) + ∂2 = 6 ≠ 0 ，F 不表示磁感应强度 B。
r ∂r
∂z
4-4 无限长直线电流垂直于磁导率分别为 µ1 和 µ2 的两种介质的分界面，试求： (1) 两种介质中的磁感应强度 B1 和 B2；(2) 磁化电流分布。
B0
M
=
B µ0
−H
=
1 µ0
⎜⎜⎝⎛
µ µ0
− 1⎟⎟⎠⎞B0
=
4999 µ0
M
=
4999 µ0
ez
对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件有
B = B0 H = B / µ = B0 / µ
M
=
B µ0
−H
=
⎜⎜⎝⎛
1 µ0
−
1 µLeabharlann ⎟⎟⎠⎞B0=4999 5000µ 0
M
=
4999 5000µ0
ez
4-6 证明磁介质内部的磁化电流是传导电流的( µr − 1 )倍。
B ≈ µ0M
4-11 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为 H0，若此平面电流回路 位于磁导率分别为 µ1 和 µ2 的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介
质中的磁场强度 H1 和 H2。 解：由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上
的磁场只有法向分量，根据边界条件，有 B1 = B2 = B 。在分界面两侧做一个小矩
c) 圆弧中的电流在点 P 所产生的磁感应强度为
B1
=
2(π − α ) 2π
µ0I 2a
=
(π
− α)µ0I 2πa
两根半无限长电流 在点 P 所产生的磁感应强度为
B2
=
2µ0 I 4πa sin α
(cos 0
−
cosα )
=
µ0 I (1 − cosα ) 2πa sin α
故点 P 的磁感应强度为
Jm = ∇×M = 0
铁盘上、下底面的磁化电流线密度
K m1 = M × en = MeZ × (±eZ ) = 0
铁盘侧面周边边缘上的磁化电流线密度
K m = M × en = MeZ × er = Meφ
这样可将圆盘视为相当于 I = Kmb 的圆形磁化电流，求此电流在各处产生的磁场。 又由于 b >> a ，可视为圆环电流产生的磁场。在铁盘轴线上产生的磁场为
解：设磁介质中的磁感应强度为 B = Bxex + Bye y + Bzez 根据边界条件 B1n = B2n ， H1t = H 2t 有
By = By0 = −10
Bx = B0x = 0.5 µ0µr µ0 µ0
所以
Bz = B0z = 0 µ0µr µ0
Bx = 2500 ， By = −10 ， Bz = 0
形回路，分别就真空和存在介质两种情况，应用安培环路定理即可导出 H1、H2 和 H0 的关系。
在分界面两侧，做一个尺寸为 2∆h × ∆l 的小矩形回路 c。根据安培回路定律有
∫H c
⋅ dl
=
H1 (P1 )∆h
+
H2
(P1 )∆h
−
H1 (P2
)∆h
−
H 2 (P2 )∆h
=
I
因 H 垂直于分界面，所以积分式中 H ⋅ ∆l = 0 。这里 I 为与小矩形回路交链的电流。
即
B = ex 2500 − e y10
设空气中的磁感应强度为 B0 = ex B0x + e y B0 y + ez B0z
根据边界条件 B1n = B2n ， H1t = H 2t 有 B0 y = By = 0.5
B0x = Bx = 10 µ0 µ0µr 5000µ0
所以
B0z = Bz = 0 µ0 µ0µr
a) 由 ∇ ⋅ F = ∂40x + ∂(−30 y) = 0 ，F 可能表示磁感应强度 B。
∂y
∂x
J
=∇⋅ B µ0
=∇⋅ F µ0
=
∂40x µ0∂x
− ∂(−30 y) µ0∂y
=
70 µ0 ez
b) 按圆柱坐标系求解， ∇ ⋅ F = 1 ∂(Ar) = 0 ，F 可能表示磁感应强度 B。 r ∂φ
解：(1)安培环定理
∫ H ⋅ dl = NI
l
有 2πHr = NI
H
=
NI 2πr
eφ
，
B
=
µ0µr H
=
µ0µr NI 2πr
eφ
(2)ψ = NΦ = NBS = µ0µr N 2 IS 2πr
(3) L = ψ = µ0µr N 2S Ι 2πr
(4) W = 1 LI 2 = µ0µr N 2SI 2
B=
µ0 Ia2 2(z 2 + a 2 )3/ 2
=
µ 0 Mba 2 2(z 2 + a 2 )3/ 2
H
=
B µ0
=
Mba 2 2(z 2 + a 2 )3/ 2
B 、 H 的方向沿 z 方向。铁盘内由于 µ >> µ0 ，可得
⎜⎜⎝⎛1 −
µ0 µ
⎟⎟⎠⎞B
=
µ0
M
在铁盘内是均匀分布的磁场。
+ π (r 2
− a12 )J 2 ] ⇒
B
=
eφ
⎜⎜⎝⎛
10 3
r
− 10−5 r
⎟⎟⎠⎞
当r
>
a2 时，有 B
= eφ
µ0I 2π r
=
eφ
2 ×10−5 r
4-8 已知在半径为 a 的圆柱区域内有沿轴向方向的电流，其电流密度为
J
= ex
J0r a
，其中 J0 为常数，求圆柱内外的磁感应强度。
习题四
4-1 分别求附图中各种形状的线电流在真空中的 P 点产生的磁感应强度。
I
I
I
P
P
P
a
R R
a)
b)
c)
题 4-1 图
解：a) 略
b) 如图 b)所示，由通电 I 的细圆环在轴线上的磁场
B = ez
µ0 Ia 2 2(a 2 + z 2 )3 2
可令 z=0，得 P 点的磁场为
B = ez
µ0 I 2a
解：(1) 由安培环路定律，可得
H
= eφ
I 2π r
所以得到
B1
= µ0H
= eφ
µ0I 2π r
B2
= µH
= eφ
µI 2π r
(2) 磁介质的磁化强度为
则磁化电流体密度为
M
=
1 µ0
B2
−
H
= eφ
(µ − µ0 )I 2πµ0 r
JM
=∇× M
= eZ
1 r
d dr
(rM
φ
)
=
eZ
(µ − µ0 )I 2πµ0
B0x = 0.002 ， B0 y = 0.5 ， B0z = 0
即
B0 = ex 0.002 + e y 0.5
4-13 真空中有一厚度为 d 的无限大载流块，电流密度为 ez J0 ，在其中心位置有 一半径为 a 的圆柱形空腔。求腔内的磁感应强度。
解：设空腔中同时存在有密度为 ±ez J0 的电流，则可利用安培环路定律和迭加原 理求出空腔内的 B 。
电流密度为 ez J0 的均匀载流块产生的磁场为：
B1 = e y µ0 J 0 x
⎜⎛ x ≤ d ⎟⎞ ⎝ 2⎠
电流密度为 −ez J0 的均匀载流圆柱产生的磁场为
B2
=
µ0 J 0 2
(ex
y
−
ey x)
(x2 + y2 < a2)
由此得到空腔中的磁场
B
=
B1
+
B2
=
µ0 J 0 2
(ex
y
+
率 γ 2 = 4 ×107 S/m 。导体圆柱中沿轴线方向流过的电流为 I = 100A ，求：(1)
两层导体中的电流密度 J1 和 J2；(2)求导体圆柱内、外的磁感应强度。