代数变形中常用的技巧 云南电大省直分校 数学与应用数学专业 毛里安 摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转 化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要 人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学 习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文 就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。 两个代数式 A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相 等，则称这两个代数式恒等，记作 A≡B 或 A=B，把一个代数式换成另一个和它 恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好 中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必 须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。 代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接 关系到解题能力的发展。 代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取 的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在 着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活 与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问 题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败， 其后果直接影响着应试的能力及效率。 代数的恒等变形包括的内容较多， 本文着重阐述代数运算和解题中常见的变 形技巧及应用。 一、整式变形 整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的 最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。 例 1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2 分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算 会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元 法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。 解 ： 设 y-z=a, z-x=b, x-y=c, 则 a+b+c=0 ， y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2 =b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2 2 2 2 =-a -b -c -2ac-2ab-2bc =-(a+b+c)2 =0 例 2：分解因式 ① (1-x2)(1-y2)-4xy 4 4 2 2 ② x +y + x y 分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从 其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开， 并把-4xy 拆成-2xy 和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项 法加上 x2y2 再减去 x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。 2 2 2 2 解：①原式= 1-y -x +x y -2xy-2xy
x =a, y+z
y =b, z+x
z =c, 且 x+y+z ≠ 0, 试 求 x+ y
a b c + + 的值。 1+ a 1+ b 1+ c 分析：此题若按常规方法，把已知条件直接代入所求进行计算，计算会很复 杂，也不容易求得正确答案。通过观察已知和未知的式子，考虑将已知条件进行 变形，再整改代入未知中去，计算起来比较简单。因此，对已知条件进行变形也 是非常必要的。
所以原式=
（二）应用比例的基本性质进行恒等变形 例：已知
a b 6 a − 15b 4a 2 − 5ab + 6b 2 = = ，求 2 的值。 3b 2a − 5b a a − 2 ab + 3b 2
解：由已知条件知 a≠0，b≠0，把已知条件中的等式变形并利用等比性质 消去 b，得 25a 15b 6 a − 15b 25a + 15b + (6 a − 15b) 31a = = = = =1 75b 30 a − 75b a 75b + (30 a − 75b) + a 31a ∴ a=3b
解：由已知得 1+a=1+
x x+ y + z = y+z y+z
所以
a x b y c z = ，同理 = ， = 1+ a x + y + z 1+ b x + y + z 1+ c x + y + z x y z x+ y + z + + = =1 x+ y + z x+ y + z x+ y + z x+ y + z
3
1 1 1 1 + = + x − 10 x − 6 x − 7 x − 9 1 1 1 1 再进行变形得 = x − 10 x − 9 x − 7 x − 6 1 1 ∴ 2 = 2 x − 19 x + 90 x − 13 x + 42 即 ∴ x 2 − 19 x + 90 = x 2 − 13x + 42 ∴ x=8 （十一）利用换元再约简的方法进行恒等变形 约分是分式化简的重要手段之一。这种变形技巧贯穿整个分式的学习过程 中。 ⎡ ac 2 ⎤ ⎡ c c2 ⎤ a − ⋅ 1 + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ( a + b) 2 ⎦ ⎣ a + b (a + b) 2 ⎦ ⎣ 例：化简 bc ⎡ c3 ⎤ (b + ) ⎢1 − a + b ⎣ (a + b) 3 ⎥ ⎦ 解：设 原式=
分析：这类问题在通常情况下是整体通分，但本题这样做显然很繁，若在每 个分式中逆用通分进行“裂项”的恒等变形，则十分简捷。 1 1 1 1 1 1 解：原式= + +…+ x x +1 x +1 x + 2 x + 2004 x + 2005 = 1 1 2005 = x x + 2005 x( x + 2005)
（十）利用分离常数的方法进行恒等变形 x −6 x − 2 x −3 x − 5 例：解方程 + = + x − 10 x − 6 x − 7 x − 9 分析：如果按照常规思路整体去分母，显然运算很繁杂，若采用分段化简， 分离常数，可化繁为简。 解：原方程可化为 4 4 4 4 1+ +1+ =1+ +1+ x − 10 x −6 x−7 x−9
c =x，则 a+b
a(1 − x 2 )(1 + x + x 2 ) a(1 − x)(1 + x )(1 + x + x 2 ) a = = b(1 + x)(1 − x 3 ) b(1 + x)(1 − x )(1 + x + x 2 ) b
（十二）利用主元代入及消元思想进行恒等变形 例：若 4x-3y-6z=0, x+2y-7z= 2 x 2 − 3 y 2 − 10 z 3 （A） − 1 2 （B） − 19 2 ） （C）-15 （D）-13
1
∴原式=
4(3b ) 2 − 5 × 3b ⋅ b + 6b 2 27b 2 9 = = (3b) 2 − 2 × 3b ⋅ b + 3b 2 6b 2 2
（三）利用倒数知识进行恒等变形 例：已知 a、b、c 为实数，且
ab 1 bc 1 ca 1 abc = ， = ， = ，求 a+b 3 b+c 4 c+a 5 ab + bc + ca
=(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2) =(1-xy)2-(x+y)2 =(1-xy+x+y)(1-xy-x-y) 4 4 2 2 2 2 2 2 ②原式= x +y + x y +x y -x y =(x2+y2)2-x2y2 =( x2+y2+xy) ( x2+y2-xy) 以上两例充分说明了，配方法、因式分解法、换元法都是恒等变形的方法与 基础，它们都是学习数学的有力工具，是解决数学问题的武器。因此，这些变形 技巧必须熟练掌握。 二、分式变形 众所周知，对学生而言，分式的变形较为复杂，也很讲究技巧。通分化简是 常规方法，但很多涉及分式的问题仅此而已是不够的，还需按既定的目标逆向变 通，这时将分式分解成部分分式、分离常数、分子变位等便成了特殊的技巧， 灵 活应用这些变形技巧便会使问题迎刃而解。 有关分式的计算、化简、求值、证明，常常采用分式的变形技巧。 （一）将已知条件变形，再直接代入 例 ： 已 知
的值。 解：显然 a、b、c 均不为零，故将三个条件分式两边分别取倒数，得： a+b b+c c+a =3， =4， =5 ab bc ca 1 c 1 1 1 1 再逆用分式加法法则变形得： + =3， + =4， + =5 a b b c c a 1 1 1 ab + bc + ca 三式相加，得 + + =6，再通分变形得 =6，两边取倒数得 a b c abc abc 1 1 = ， ∴原式= ab + bc + ca 6 6 本题多次应用了通分，逆用通分，取倒数等恒等变形，使问题得到了解决， 说明这些方法都是代数变形的重要方法，这些技巧应理解掌握。 （四）利用常值代换进行恒等变形 a b c 例：已知 abc=1,求 + + 的值。 ab + a + 1 bc + b + 1 ca + c + 1 解：∵ abc=1 a b bc ∴原式= + + ab + a + abc bc + b + 1 bc + b + 1 bc + b + 1 = =1 bc + b + 1 本题的解法很巧，若将所求通分化简，再代入已知或将已知变形再代入所求 都不易求出结果。习惯上是将字母代换成数，而此题是将数代换成字母，反而收 效较好。因此，常值代换也是恒等变形的重要技巧。 （五）利用设比例系数进行恒等变形 x y z x + y+ z 例：已知 = = ，求 的值。 a−b b−c c−a 2003a + 2004b − 2005c x y z 解：设 = = =k(k≠0),则 x=(a-b)k，y=(b-c)k，z=(c-a)k a−b b−c c−a ∴原式=0 此变形是解有关等比问题的重要技巧。 （六）利用添项拆项进行恒等变形 1 1 1 1 1 1 例：已知 abc≠0，a+b+c=0，求 a( + )+b( + )+c( + )的值。 b c c a a b a b c 解：由 abc≠0，知 + + =3，故 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 原式=a( + + )+b( + + )+c( + + )-3 a b c a b c a b c