基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4
x －3＋x (x <3)的最大值是( )
A ．－4
B ．1
C ．5
D ．－1
【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
43－x ＋（3－x ）＋3≤－2
4
3－x
·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当4
3－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1.
【答案】 D
平方后再使用基本不等式
一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
若x >0，y >0，且
2x 2＋
y 2
3
＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值．
【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝⎛⎭⎫1＋y 2
3≤3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2＋1＋y 2
322＝3×⎝⎛⎭⎫922
.当且仅当2x 2＝1
＋y 23，即x ＝32，y ＝42
2
时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9
2
3.
展开后求最值
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值．
[思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】 由题得⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3
ab
＋1，
因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1
ab ≥1.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥4(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值是4.
变形后使用基本不等式
设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1) B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1 D ．ab 有最小值2(2＋1)
【解析】 因为ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2
)2，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，
解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)， 所以a ＋b 有最小值2(2＋1)． 又因为ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，
所以ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1或ab ≤1－2(舍去)， 所以ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 【答案】 A
形如f （x ）
g （x ）
型函数变形后使用基本不等式
若y ＝f （x ）g （x ）
中f (x )的次数小于g (x )的次数，可取倒数后求其最值．
求函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）
x ＋1
(x ≠－1)的值域．
[思路点拨] 将(x ＋5)(x ＋2)用(x ＋1)来表示再变形为f (x )＝Ax ＋B
x ＋C 的形式，然后运用基本
不等式求解．
【解】 因为y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝x 2＋7x ＋10
x ＋1
＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5，
当x ＋1>0时，即x >－1时，y ≥2
（x ＋1）·4
x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时取等号)；
当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤5－2
（x ＋1）·4
x ＋1
＝1(当且仅当x ＝－3时取等号)．
所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．
用“1”的代换法求最值
已知1x ＋2
y
＝1，且x >0，y >0，求x ＋y 的最小值．
【解】 法一：因为x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2x y
≥3＋2y x ·2x
y
＝3＋2 2.
当且仅当y x ＝2x y ，且1x ＋2
y ＝1，即x ＝2＋1，y ＝2＋2时，上式等号成立．故x ＋y 的最小值
是3＋2 2.
法二：因为1x ＋2y ＝1，所以x ＝y
y －2.
因为x >0，y >0，所以y －2>0.
所以x ＋y ＝y
y －2＋y ＝y 2－y y －2＝（y －2）2＋3（y －2）＋2y －2＝
y －2＋2y －2
＋3≥3＋22⎝ ⎛当y －2＝2y －2，即y ＝2＋2
)
时取等号，此时x ＝
2＋1.
求以形如或可化为a x ＋b
y ＝1型为条件的cx ＋dy (a ，b ，c ，d 都不为0)的最值可利用“1”的代换
求乘法．本题中的条件1x ＋2
y
＝1也可化为2x ＋y －xy ＝0.
若a ，b 为常数，且0<x <1，求f (x )＝a 2x ＋b 2
1－x
的最小值．
[思路点拨] 根据待求式的特征及0<x <1知x >0，1－x >0.又1＝x ＋(1－x )，因此可考虑利用“1”
的代换法．
【解】 因为0<x <1，所以1－x >0.
所以a 2x ＋b 21－x ＝a 2x ·1＋b 21－x ·1＝a 2x ·[x ＋(1－x )]＋b 21－x ·[x ＋(1－x )]
＝a 2＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x ＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.
上式当且仅当a 2（1－x ）x ＝b 2x
1－x 时，等号成立．
所以a 2x ＋b 2
1－x ≥(a ＋b )2.
故函数f (x )的最小值为(a ＋b )2.
若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是__________． [思路点拨] 由于所给条件式中含两个变量a ，b ，因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值．
【解析】 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1＝4＋3a －1
.
又因为a >1，所以b >0.所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋6a －1＋9＝6(a －1)＋6
a －1＋15.
因为a －1>0，
所以6(a －1)＋6
a －1
＋15≥2
6（a －1）×6
a －1
＋15＝27.
当且仅当6(a －1)＝6
a －1(a >1)，
即a ＝2时取等号． 【答案】 27
已知条件含形如ax ＋bxy ＋cy ＋d ＝0(abc ≠0)型的关系式，求关于x 、y 一次式的和或积的最值问题．常将关系式中ax ＋bxy ＋cy ＋d ＝0变形，用一个变量x (或y )表示另一个变量y (或x )后求解．
代换减元求最值
设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z
xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值
为__________．
【解析】 x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒z ＝x 2－3xy ＋4y 2，①
所以z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2
xy ＝x y ＋4y x
－3≥2错误!－3＝1.
等号成立条件为x ＝2y ，
代入到①可得z ＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2， 所以x ＝2y ，z ＝2y 2， 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2 ＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2≤2. 【答案】 2
在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解．
建立求解目标不等式求最值
已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为__________． 【解析】 因为x ，y 均为正实数，
所以x ＋y ≥2xy ，xy ＝x ＋y ＋3可化为xy ≥2xy ＋3， 即(xy －3)(xy ＋1)≥0， 所以xy ≥3，xy ≥9，
当且仅当x ＝y 时，xy 取得最小值9. 【答案】 9
利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．。