这种现象就是中心极限定理的客观 背景。中心极限定理是概率论中论证随 机变量和的极限分布为正态分布的定理 的总称，也是大样本统计推断的理论基 础。
4.1 验证性实验
实验一 大数定律 【实验目的】 1．加深对大数定理的认识，对其背景和 应用有直观的理解 2．了解MATLAB软件在模拟仿真中的应 用
【实验要求】 大数定理的理论知识，
验，以 表示n 次试验中事p 件nAn 发生的次 数，那么我们可以以很大的概率确
信
。
在客观实际中有许多随机变量，他 们是由大量相互独立的随机因素的综合 影响所形成的，其中每一个别因素在总 的影响中所起的作用都很微小。如测量 误差就可以看成是由很多微小的因素影 响的结果叠加而成的。
这些因素相互独立地对测量结果发 生影响，每个因素都只发生很微小的作 用，把它们的影响叠加起来就造成了误 差，类似这样的情况可以举出很多，而 在某种具体条件下，这种随机变量往往 近似的服从正态分布。
图 2.21 高尔顿钉板试验图
高尔顿钉板试验
（1） 分析并解释这种现象； （2） 如果圆珠下落到第二排后向左和向右滚落的概
率改变，则结果会如何改变？ （3） 用 Matlab 模拟这个试验，并验证理论结果。
高尔顿钉板试验
以圆珠落下的水平线建立数轴，并假设圆珠下落位置 A 的横坐标为 a。 如果定义：当第 次碰到钉子后滚向右边，则 ；当第 次碰到钉子后滚
由于圆珠落地坐标服从正态分布，故圆珠堆积成正态曲 线的形状。如果 p 的值发生改变，则曲线的形状和位置都将 会发生改变。由中心极限定理可知，独立同分布的若干随机 变量的和近似服从正态分布，故正态分布在实际问题处理中 占有很重要的地位。
高尔顿钉板试验
【实验过程】
在 Matlab 的 Medit 窗口建立文件 goldon．m：
高尔顿钉板试验
图 2.21 中每一个黑点表示钉在板 上的一颗钉子，每排钉子等距排列，下 一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉 子之间。假设有 排钉子，从入口处放 入小圆珠，由于钉板斜放，珠子在下落 过程中碰到钉子后以 0.5 的概率滚向左 边，也以 0.5 的概率滚向右边。如果 较 大，可以看到许多珠子从 A 处滚到钉板 底端的格子中，堆成的曲线近似于正态 分布曲线。
向左边，令
，则
是相互独立的，且：
P{i 1} p, P{i 1} 1 p, E(i ) 2 p 1, D(i ) 4 p(1 p), i 1,2,...n
那么小珠最后的位置：
X a 1 2 ...n
高尔顿钉板试验
由中心极限定理可知， X 服从正态分布，且： E(X ) a (2 p 1)n, D(X ) 4np(1 p)
拉普拉斯在系统总结前人工作的基 础上写出了《分析的概率理论》，明确 给出了概率的古典定义，并在概率论中 引入了更有力的分析工具，将概率论推 向一个新的发展阶段。
19世纪末，俄国数学家切比雪夫、 马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法 建立了大数定律及中心极限定理的一般 形式，科学地解释了为什么实际中遇到 的许多随机变量近似服从正态分布。
2500
2000
1500
1000
500
0246 Nhomakorabea8
10
12
14
16
18
20
图 2.23 a=10，p=0.7 时高尔顿试验结果的直方图
高尔顿钉板试验
（1） 分析并解释这种现象； （2） 如果圆珠下落到第二排后向左和向右滚落的概
率改变，则结果会如何改变？ （3） 用 Matlab 模拟这个试验，并验证理论结果。
m=10;
if y==0
n=10000;
x=x-1;
p=0.5;
else
z=unidrnd(5,1,100);
x=x+1;
for j=1:n
end
x=10;
end
for i=1:m
z(j)=x;
y=binornd(1,p); end
hist(z)
高尔顿钉板试验
然后运行上述文件，运行结果如下：
2500
Matlab软件
【实验内容】 X1, X 2, , X n,
1．设随机变量
n相互 独立且服
从 时参，Yn数随 1n机为in1 X变3i2 的量泊松分布。依验概证率当收敛到12。
2．已知每毫升正常成年男子的血液中， 白细胞数的平均值是7300个，均方差是 700，利用切比雪夫不等式估计成年男子 每毫升血液中，白细胞数在5200～9400 之间的概率。
算术平均值，即若干个数X1、
X2……Xn之和除以n，是最常用的一种 统计方法，人们经常使用并深信不疑。 但其理论根据何在，并不易讲清楚，这 是大数定律要回答的问题，在某种程度 上可以说，大数定律是整个概率论最基 本的规律之一，也是数理统计学的理论 基石。
n
大数定律从理论上回答了通过试验
来确定概率的方法：做n次独立的重复试
【实验过程】
2. 2 设计性实验
实验三 高尔顿钉板试验
【实验目的】 1.加强对正态分布的理解 2.了解独立同分布的中心极限定理 3.掌握 Matlab 软件在计算机模拟中的应用 【实验要求】 1． 了解建立 Matlab M 文件的方法，理解循环语句 for—end 和假 设语句 if—end 2．了解简单的 Matlab 程序设计，掌握用 Matlab 处理实际问题的能 力
2000
1500
图 2.22 a=10，p=0.5 时
高尔顿试验结果的直方图
1000
500
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19
从结果可以看到，当 a=10，p=0.5 时，圆珠堆积成的正态曲
线以 x=10 为对称轴。
高尔顿钉板试验
增大 p 的值，则正态曲线的对称轴向右移动， 如图 2.23。 3000
第4章 大数定理和中心极限定理
从17世纪概率论产生开始，随着18、 19世纪科学的发展，人们注意到在某些 生物、物理和社会现象与赌博游戏之间 有某种相似性，从而由赌博起源的概率 论被应用到这些领域中，这同时也大大 推动了概率论本身的发展。
使概率论成为数学的一个分支的奠 基人是瑞士数学家j．伯努利，他建立了 概率论中第一个极限定理，即伯努利大 数定律，阐明了事件的频率稳定于它的 概率。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了 第二个基本极限定理（中心极限定理） 的原始形式。