变式训练3 ．
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值
解：设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010， 则 iS＝i＋2i2＋…＋2010i2010＋2011i2011， ∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2010－2011i2011 1－i2011 ＝ －2011i2011 1－i 1－i4502i3 2 1005 ＝ －2011(i ) i 1－ i ＝2012i. 2012i 2012i1＋i ∴S＝ ＝ ＝－1006＋1006i. 2 1－i
2x＝3x－1， x＝1， 所以 解得 5－y＝y＋1， y＝2.
所以 z＝1＋2i， z ＝1－2i.
i的运算性质及应用 虚数单位i的周期性： (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝ 1(n∈N)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． n也可以推广到整数集．
问题探究
1．z· z 与|z|2 和| z |2 有什么关系？
提示：z· z ＝|z|2＝| z |2.
2．z2 与|z|2 有什么关系？
提示： 当 z∈R 时， z2＝|z|2， 当 z 为虚数时， z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|.
3．对于复数z，z· 0＝0成立吗？ 提示：仍然成立．
考点突破 复数的乘除法
法二：(技巧解法) 1＋i2 6 2＋ 3ii 原 式 ＝ [ ] ＋ ＝ i6 ＋ 2 3－ 2ii 2＋ 3ii ＝－1＋i. 2＋ 3i
【思维总结】 对于复数的混合运算，仍可按照 先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算 括号． 1 2 3 变式训练 1 计算(1－i) ＋2i＋(3＋i )＋ 的 i
例3 计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010.
【思路点拨】 解答本题可利用等比数列求和 公式化简或者利用in的周期性化简． i1－i2010 i[1－i21005] 【解】 法一： 原式＝ ＝ 1－i 1－ i i· 1＋1 2i1＋i ＝ ＝ 2 1－i
＝－1＋i.
法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋ …＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010) ＝i－1＋0＝－1＋i. 【思维总结】 等差、等比数列的求和公式在复 数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋ in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
【思维总结】 本题充分利用了共轭复数的有关 性质，使问题直接化简为2x＋1＝0而不是直接把z ＝x＋yi代入等式．
变式训练 2 已知 x、y∈R，若 2x＋(5－y)i 和 3x－1－(y＋1)i 是共轭复数， 求复数 z＝x ＋yi 和 z .
解：因为 2x＋(5－y)i 和 3x－1－(y＋1)i 是
复数代数形式的乘除运算
温故夯基 1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c， d∈R，则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，类似于把i 看成未知数的多项式的加减运算． 2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|___| ≤ z1|＋ |z2|.
知新益能 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ac－bd＋(ad＋bc)i 则 z 1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有
a－ bi 即 z＝a＋bi，则 z ＝______.
4．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， a＋bi ac＋bd bc－ad ＝ 2 2＋ 2 2 i(c＋di≠0) z1 c＋di c ＋d c ＋d 则 ＝________________________________ ． z2
3．实数的共轭复数是它本身，即 z∈R⇔z ＝z， 利用此性质可以证明一个复数是实数． 4．若 z≠0 且 z＋ z ＝0，则 z 为纯虚数，利 用此性质可证明一个复数是纯虚数． 5.记住以下结果，可提高运算速度． 2 2 ①(1＋i) ＝2i，(1－i) ＝－2i. 1－i 1＋ i ② ＝－i， ＝i. 1＋i 1－ i 1 ③ ＝－i. i 失误防范 1．z1＋z2＝0只是z1与z2共轭的必要条件． 2．在复数的乘除法中，注意要把i2化为－1后再 化简．
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z 2· z1 z1· z2＝_____ z 1· ( z 2· z3) (z1· z2)· z3＝_______ z1z2＋z1z3 z1(z2＋z3)＝________
3.共轭复数 如 果 两 个 复 数 满 足 实部相等，虚部互为相反数 __________________________时， 称这两个 复数为共轭复数．z 的共轭复数用 z 表示，
值． 解：原式＝－2i＋2i＋3－i－i＝3－2i.
共轭复数
z· z ＝|z|2，体现了复数与实数的转化． z∈R⇔z＝ z ；若 z≠0，z＋ z ＝0，则 z 为纯 虚数．
1 例2 已知 z＝x＋yi(x、y∈R)且 z＝ ， z (z＋1)( z ＋1)＝x2＋y2，求复数 z.
【思路点拨】
【解】 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－ 1)＝5； 2 2 2 (2)(1＋2i) ＝1＋4i＋(2i) ＝1＋4i＋4i ＝ －3＋4i； 1＋i2 6 (3) 法 一 ： 原 式 ＝ [ ] ＋ 2 2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22 6＋2i＋3i－ 6 6 ＝i ＋ 5 ＝－1＋i.
方法感悟 方法技巧 1．复数的乘法运算法则的记忆 复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的 乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的 化简． 2．复数的除法运算法则的记忆 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化 ，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为 纯虚数，则只需同乘以i.如例1(3)
1 z＝ ⇒z z ＝1⇒|z|＝1，从 z
而展开(z＋1)· ( z ＋1)可求．
1 【解】 ∵z＝ ，∴z z ＝1，∴|z|＝1， z 即 x2＋y2＝1. 又∵(z＋1)( z ＋1)＝x2＋y2， ∴z· z ＋z＋ z ＋1＝1， 1 ∴2x＋1＝0，∴x＝－ . 2 3 3 2 2 2 由 x ＋y ＝1，得 y ＝ ，∴y＝± . 4 2 1 3 ∴z＝－ ± i. 2 2
例1
计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2； 1＋ i 6 2＋ 3i (3)( )＋ . 1－ i 3－ 2i (1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够 使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公 式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等． (2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复 数．