空间向量及线性运算【本课重点】1、理解空间向量地概念，掌握空间向量地线性运算及性质；2、通过平面向量向空间向量地推广，体会数学地类比和归纳地思想方法.【预习导引】1、在空间，既有___________又有_____________地量叫空间向量.空间向量可以用________表示；__________地长度叫向量地模；凡是方向相同且长度相等地有向线段表示同一向量或______________.2、已知空间向量b a ,，在空间任取一点O ，作b AB a OA ==,，则=+b a ___________； 作b OB a OA ==,，则=-b a ___________；作)(,R OA OP a OA ∈λλ==，则=OP ______.3、空间向量地加法和数运算满足运算律：（1）__________________________________;(2)________________________________; (3)____________________________________.4、如果表示空间向量地有向线段互相_____或____，那么这些向量叫_________或_______向量a 与b 平行，记为____________.5、对空间任意两个向量a 与b （0≠a ），b 与a 共线地充要条件是存在实数λ,使_________.【典例练讲】例1、如图，M,N,P ,Q,R,S 为平行六面体1111ABCD A B C D -所在棱中点，化简下列向量表达式，并标出化简结果地向量.(1) AB BC + (2) 1AB AD AA ++(3) 112AB AD CC ++(4) 11()3AB AD AA ++(5) 11BC BB B D -- (6) MN PQ RS ++例2、如图，在长方体111OADB CA D B -中，3OA =，4OB =，2OC =，1OI OJ OK ===，点,E F 分别是11,DB D B 地中点.设OI i =，OJ j =，OK k =.试用向量,,i j k 表示1OD 、1OA 、OE 、OF .例3、如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 地中点，(1)若2CF FD =，连接EF ,CE ,AF ,BF 化简下列各式，并在图中标出化简得到地向量： ①AC CB BD ++； ②AF BF AC --； ③1223AB BC CD ++； (2)若F 为CD 地中点，求证：1()2EF AD BC =+.例4、已知六面体1111ABCD A B C D -是平行六面体（如图）. （1）化简11223AA BC AB ++，并在图上标出结果； （2）设M 是底面ABCD 地中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上地四等分点（靠近点1C ）， 设1,MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβγ地值ABCEFDA B 1BD 1 C 1 B 1A 1D C B A S RQPNM共面向量定理【本课重点】空间共面向量地概念、判定、性质及运用. 【预习导引】1、_______________________________叫共面向量.2、在平面向量中，向量b 与向量)0(≠a a 共线地充要条件是存在实数λ，使得a b λ=；在空间向量中，已知向是b 与a 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面地充要条件是存在有序实数组（x,y ）,使得=p ____________.3、已知空间四点O 、A 、B 、C 满足OB OA OC β+α=，则A 、B 、C 三点共线地充要条件是________________.4、已知A 、B 、C 三点不共线，则点O 在平面ABC 内地充要条件是存在有序实数对x,y,使=OA _______________.5、设空间任意一点O 和不共线地三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=（其中x+y+z=1）试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面？并证明你地结论.【典例练讲】例1、正方体1111ABCD A B C D -，E 和F 点分别为面1111A B C D 与11BB C C 地中心，判断下列几组向量是否为共面向量：（1）1111,,BC A D D D ；（2）111,,EF C D D D ；（3）11,,A B DC EF .例2、如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，且13BM BD =，13AN AE =.求证：//MN CDE 平面.例3、证明：三个向量12332a e e e =-++，123462b e e e =-+，12331211c e e e =-++共面.例4、（1）对于空间某一点O ，空间四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）分别对应着向量OA 、OB 、OC 、OD ，求证：A 、B 、C 、D 四点共面地充要条件为存在四个不全为零实数,,,αβγδ，使得0OA OB OC OD αβγδ+++=，且0αβγδ+++=;（2）设空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，当,,x y z 满足什么条件时，能够使得,,,P A B C 四点共面.F ED 1 C 1B 1 A 1D CB A · · F EABCOMNG空间向量基本定理【本课重点】空间向量基本定理及其运用. 【预习导引】1、如果3个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p ，存在___________地有序实数组{x,y,z}，使=p ____________________.{321,,e e e }称为空间地一个________，321,,e e e 叫做______________.当321,,e e e 两两互相垂直时称为____________,当321,,e e e 为两两垂直地单位向量时称为__________________,通常用____________表示.2、已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 地中点，G 在AN 上，且AG=2GN ，c OC b OB a OA ===,,，用c b a ,,作为基底，则向量MN 可表示为____________;OG 可表示为___________.3、如图，已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 地中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量_________.OG =【典例练讲】例1、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知DA a =，DC b =，1DD c =，点G 是侧面11B BCC 地中心，试用向量,,a b c 表示下列向量：111,,,DB BA CA DG .例2、在正方体OADB CA D B '''-中，点E 是AB 与OD 地交点，M 是OD '与CE 地交点，(1)试分别用向量,,OA OB OC 表示向量OD '和OM ;（2）,,OI OJ OK 分别为,,OA OB OC 方向上地单位向量，试用,,OI OJ OK 表示,,OA OB OC .例3、已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，点,M N 分别是对边,OA BC 地中点，点G 在直线MN 上，且2MG GN =，试用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG .例4、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11A D ，1D D ，11DC 地中点，请选择恰当地基底向量.证明：（1）//EG AC ；（2）平面EFG //平面1AB C .GDCBD 1AC 1B 1A 11空间向量地坐标表示【本课重点】空间向量地坐标表示、运算及空间向量平行地坐标表示. 【预习导引】1、 若),,(111z y x A ，),,(222z y x B 那么=AB _________________.2、 设),,(111z y x a =，),,(222z y x b =,R ∈λ,那么（1）=+b a ___________________; (2) ）=-b a ___________________;（3）a λ=_____________________; (3) 若)0(//≠a b a ，则____________.3、已知向量a ＝(8，12x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x ＞0.若a ∥b ，则x 地值为__________.4、给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在地直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一地实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 地内部．其中真命题是________．【典例练讲】例1、已知1111ABCD A B C D -是棱长为2地正方体，E 、F 、G 、H 、I 、J 分别为图中所示各棱地中点，P 为正方体地中心，建立如图所示地空间直角坐标系. （1）、试写出图中各点地坐标；（2）、x 轴，y 轴，z 轴上地点地坐标有什么特点？例2、（1）已知(1,3,8)a =-，(3,10,4)b =-，求a b +，a b -，3a ，32a b -.（2）已知A ，B ，C 三点坐标分别为(2,1,2)-，(4,5,1)-，(2,2,3)-，求满足下列条件地P 点地坐标：①1()2OP AB AC =-；②1()2AP AB AC =-.例3、已知(2,1,1)a =-，(1,3,2)b =-，(2,1,3)c =--和(3,2,5)d =，试求实数,,λμν， 使d a b c λμν=++.例4、（1）、已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =，若//a b ，求,x y 地值；（2）、已知空间四点(2,3,1)A -，(2,5,3)B -，(10,0,10)C 和(8,4,9)D ，求证：四边形ABCD 为梯形.空间向量地数量积(1)【本课重点】空间向量数量积、夹角及求法. 【预习导引】1、设b a ,是空间两个非零向量，过空间任一点O 作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫向量a 与b 地__________,记作________,范围为________.若<b a ,>=0,则向量a 与b __________；若<b a ,>=π,则向量a 与b ____________；若<b a ,>=2π,则向量a 与b 互相_____________，记为b a ⊥.b a ⊥⇔____________2、设b a ,是空间两个非零向量，把cos ||||b a <b a ,>叫做向量a 与b 地数量积，记为______________. 并规定：零向量与任一向量地数量积为0.空间向量地数量积地运算律：(1)_____________________;(2)________________________;(3)_______________________.3、已知,a b 是空间两个向量，若3,2a b ==，7,a b +=则,a b 地夹角为_________.4、如图所示，空间四边形OABC 中，,.OA BC OB AC ⊥⊥求证：.OC AB ⊥【典例练讲】例1、如图，已知空间四边形ABCD 地每条边和对角线都等于1，点E 、F 分别是AB ，AD 地中点，计算：EF BA ⋅，EF BD ⋅，EF DC ⋅.例2、已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 地夹角均为60︒，且||1a =，||2b =，||3c =，试求：2()a b +，2(2)a b c +-，(32)()a b b c --.例3、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1,90ACD ∠=︒，将它沿着对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，求BD 间地距离.例4、在三棱锥O-ABC 中，已知侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，求证：底面ABC ∆是锐角三角形.AEF A B D C空间向量地数量积(2)【本课重点】空间向量数量积地坐标运算. 【预习导引】1、 设),,(111z y x a =，),,(222z y x b =则(1)||a =___________________________; (2)=⋅b a _________________________;(3)cos <b a ,>=____________________; (4)b a ⊥⇔________⇔_________________.2、若),,(111z y x A ，),,(222z y x B ,则AB 中点M 地坐标为____________________________;=AB ________________________;=||AB ______________________________.3、“0a b ⋅<”是“,a b <>为钝角”地_____________条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分也不必要”）4、已知(1,1,)a t t t =--，(2,,)b t t =，则b a -地最小值为________.【典例练讲】例1、(3,5,4)a =-，(2,1,8)b =，计算：（1）23a b +，34a b -，ab ，||a ，|23|a b + (2)cos ,a b <>;(3)求向量23a b +与a 地夹角;(4)确定,λμ地关系,使a b λμ+与z 轴垂直.例2、已知(1,5,1)a =-，(2,3,5)b =-. （1）若()//(3)ka b a b +-，求k 地值； （2）若()(3)ka b a b +⊥-，求k 地值.例3、已知(1,0,1),(2,2,2),(0,2,3)A B C ，求(1)线段AB 地中点坐标和AB 地长度； (2)AB AC 与地夹角地正弦值;(3)求ABC ∆地面积; (4)到C 点地距离为1地P （x,y,z ）地坐标,,x y z 满足地条件.例4、在棱长为1地正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,D D BD 地中点，G 在棱CD 上，且14CG CD =，H 是1C G 地中点，应用空间向量法解决下列问题:(1)求证：1EF B C ⊥; (2)求EF 与1C G 所成角地余弦值; (3)求FH 地长. E A 1D 1C 1B 1H直线地方向向量和平面地法向量【本课重点】直线地方向向量和平面地法向量. 【预习导引】1、直线l 上地_____________________________叫做直线l 地方向向量.2、如果表示非零向量n 地有向线段所在直线与平面α______,那么称向量n 与平面α_______,记着___________,此时，把向量n 叫做平面α地_____________.3、下列说法正确地是________.(1) 一条直线地所有方向向量都互相平行;(2)一个平面地所有法向量都互相平行; (3)平面地法向量一定是非零向量;(4)向量n 是平面α地法向量，向量a 是与平面α平行或在平面α内，则有0=⋅a n . 4、(1)在空间直角坐标系O xyz -中，下列向量中不是y 轴地方向向量地是_______.○1(0,1,0); ○2(0,-1,0); ○3(0,12,-1); ○4(0,1,1)(2)过空间三点(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)A B C 地平面地一个法向量为__________.【典例练讲】例1、(1)在正方体1111ABCD-A B C D 中，求证：1DB 是平面1ACD 地法向量；(2)已知：A(1,2,1)，B(3,2,3)，C(5,3,1)，求平面ABC 地一个单位法向量.例2、在空间直角坐标系中，设平面α经过点000P(x ,y ,z )，平面α地法向量是e (a,b,c)=，M(x,y,z)是平面α内地任意一点，求x ，y ，z 满足地关系式.例3、已知：A(-2,3,-3)，B(4,5,9). (1)写出直线AB 地一个方向向量；(2)若点M(x,y,z)在直线AB 上，求x ，y ，z 满足地关系式；(3)设平面α经过线段AB 地中点，且与直线AB 垂直，点P(x,y,z)是平面α内一点，求x,y,z 满足地关系式；(4)求到A,B 两点距离相等地点Q(x,y,z)地坐标x,y,z 满足地关系式.例4、在棱长为1地正方体1111ABCD-A B C D 中，,E F 分别是棱,AB BC 地中点，则在棱1BB 上是否存在点M ，使得11D M EFB ⊥平面？若存在，指出点M 地位置；若不存在，请说明理由.空间线面关系地判定(1)【本课重点】用向量语言表述线线、线面、面面地平行和垂直关系；用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系.【预习导引】1、设两直线21,l l 地方向向量分别为21,e e ；平面21,αα地法向量分别为21,n n ,那么： （1）⇔21//l l __________________; ⇔⊥21l l __________________; (2)⇔α11//l __________________; ⇔α⊥11l __________________; (3)⇔αα21//________________; ⇔α⊥α21__________________.2、设b a ,分别是直线21,l l 地方向向量,根据下列条件,判断21,l l 地位置关系：(1))6,3,6(),2,1,2(--=--=b a __________; (2))2,3,2(),2,2,1(-=-=b a __________; 3、设v u ,分别是平面βα,地法向量,根据下列条件,判断βα,地位置关系：(1))4,4,6(),5,2,2(-=-=v u __________; (2))4,4,2(),2,2,1(--=-=v u __________; (3))4,1,3(),5,3,2(--=-=v u __________.4、已知直线l 地方向向量(1,0,2)a =--，平面α地一个法向量为(4,0,)e m =，若直线l 与平面α垂直，则实数____.m =【典例练讲】例1、证明：在平面内地一条直线，如果它和这个平面地一条斜线地射影垂直，那么它和这条斜线也垂直. (三垂线定理)例2、证明：如果一条直线和平面内地两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.(直线与平面垂直地判定定理)例3、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，30BAC ∠=，BC=1,1AA =是棱CC 1地中点，求证：A 1B ⊥AM.例4、已知正方体1111ABCD A B C D -中，E,F 分别为BB 1、CD 地中点，求证：D 1F ⊥面ADE.BACDA 1C 1D 1FECABA 1B 1C 1 Mlnmα空间线面关系地判定(2)【本课重点】用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系. 【预习导引】1、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1，AB=2AD ，点E 是线段C 1D 1地中点，则DE 与平面EBC 地位置关系是_________.2、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1地各棱长均相等，点D 是BC 上一点，AD D C 1⊥，则平面ADC 1与平面BCC 1B 1地位置关系____________.3、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AA 1地中点，点O 是BD 1地中点，则OM 是异面直线AA 1与BD 1地____________.4、已知(1,5,2),(3,1,),AB BC z =-=若,(1,,3),AB BC BP x y ⊥=--且BP ABC ⊥平面，则实数x,y,z 分别为_________________.【典例练讲】例1、在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ∠=︒，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30o 角，AE ⊥PD ，E 为垂足，试建立恰当地空间直角坐标系：(1)求证：BE ⊥PD ；(2)设(1,,)n p q =，满足PCD n ⊥平面，求n 地坐标.例2：在棱长为1地正方体1111ABCD A B C D —中.（1）若E 、F 分别为棱AB 和BC 地中点，试在1BB 上找一点M ，使得11D M EFB ⊥平面; （2）若PQ 是AC 与C 1D 地公垂线段，试确定点P 在AC 上及点Q 在C 1D 上地位置.例3、如图，平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1地底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=θ=∠BCD . （1）求证：BD C C ⊥1；（2）当CC CD1地值为多少时，能使A 1C BD C 1⊥平面，请给出证明.例4、如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，,AB BC kPA ==，点,O D 分别是,AC PC 地中点，OP ABC ⊥平面.(1)求证：//OD BA 平面P ；（2）当k 为何值时，O 在平面PBC 内地射影恰好为PBC ∆地重心? DCBD 1AC 1B 1A 1空间角地计算(1)【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算. 【预习导引】1、两条异面直线所成地角与它们地方向向量地夹角_______________.2、斜线与平面所成角是斜线与平面法向量地夹角_________________.3、两个平面所成地二面角与两个平面地法向量地夹角_____________.4、设b a ,分别是两条异面直线21,l l 地方向向量，且21,cos ->=<b a ，则异面直线21,l l 所成角为______. 5、正方体1111ABCD A B C D —中，M 是AB 地中点，则DB 1与CM 所成角地余弦值为_____.【典例练讲】例1、在正方体1111ABCD A B C D —中，E 1、F 1分别在A 1B 1、C 1D 1上，且11111E B A B 4=, 11111D F C D 4=,P 为BC 中点.(1)求BE 1与DF 1所成角地大小;(2)求直线1F P 和平面1D AC 所成角地大小;(3)求二面角11A BD C --地大小.例2、如图，在直三棱柱111ABO A B O —中，1OO 4=，OA 4=，OB 3=，AOB 90∠=︒，D 是线段A 1B 1地中点，P 是侧棱BB 1上地一点，若OP BD ⊥，求OP 与底面AOB 所成角地余弦值.例3、如图，ABCD 是直角梯形，ABC 90∠=︒，AD BC ∥，SA ABCD ⊥平面，SA AB= BC 2==，AD 1=，求面SCD 与面SBA 所成二面角地大小.例4、已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 地中点.(1)证明：AE ⊥PD ;(2)若H 为PD 上地动点，EH 与平面PADE —AF —C 地余弦值. OAB A 1B 1 O 1D PD 1DCABC 1B 1A 1ADCB S50 / 12空间角地计算(2)【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算. 【预习导引】1．若060CPA BPC APB =∠=∠=∠，则PA 与面PBC 所成角为_________________； 若0120CPA BPC APB =∠=∠=∠，则PA 与面PBC 所成角为_________________.2．若090CPA BPC APB =∠=∠=∠，Q 为异于P 地一点，PQ 与平面PAB 、平面PBC 、平面PAC 所成角分别为α、β、γ，则γ+β+α222cos cos cos ＝_________________.3．共点地三条直线PA 、PB 、PC 两两垂直，它们与平面ABC 所成角为γβα、、，则=++γβα222sin sin sin _____.4．在直二面角-αl β-中，A α∈，B β∈，A 、B 都不在l 上， AB 与α所成角为x ，AB 与β所成角为y ，AB 与l 所成角为z ，则cos 2x+cos 2y -cos 2z 地值为_________________.【典例练讲】例1、如图(1)所示，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6地等腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角，如图(2)所示，(1)求证：1AC BO ⊥；(2)求二面角1O AC O ——地大小.例2、在直三棱柱111ABC A B C —中，底面ABC 是等腰直角三角形，ACB 90∠=︒，侧棱1AA 2=，D 、E 分别是1CC 与1A B 地中点，点E 在平面ABD 上地射影是ABD ∆地重心G ，求1A B 与平面ABD 所成角地大小.例3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥面ABCD ，PA=AB ， (1)求证：面PAC ⊥面PBD ；(2)求二面角P-BD-C 地大小； (3)在PC 上是否存在点E ，使得PB ⊥面ADE.例4、如图所示，四棱锥P ABCD -地底面ABCD 是半径为R 地圆地内接四边形，其中BD 是圆地直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD，PD =，E F ，分别是PB CD ，上地点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 地平行线交PC 于G ．(1)求BD 与平面ABP 所成角θ地正弦值； (2)证明：EFG △是直角三角形；(3)当12PE EB =时，求EFG △地面积．CA BDOO 1CABDOO 1（1（2AEPDC B ABA 1B 1C 1CEG DF C PG EA BD本章复习【本课重点】向量方法解决了有关空间直线、平面地平行、垂直和夹角等问题.【预习导引】1、已知空间四边形ABCD，,M N分别是,AD BC地中点，那么下列等式正确地是( )A、2MA AB DC=+B、1122MN AC DB=+C、2MN AD DB DC+=+D、MB BC BA BD=--2、如果三点(1,5,2)A-，(2,4,1)B，(,3,2)C a b+在同一直线上，那么a=______,b=______.3、在平行六面体1111ABCD A B C D-中，M为AC与BD地交点，若11A B a=，11A D b=，1A A c=，则向量1B M可表示为_____________.4、设A、B、C、D是空间不共面地四点，且满足AB AC0⋅=，AC AD0⋅=，AB AD0⋅=，则BCD∆为___________三角形.【典例练讲】例1、在正四面体PABC（四个面都是全等地等边三角形地四面体）中，若E、F分别在棱PC、AB上，且13CE AFPC AB==.⑴设PA a=,PB b=,PC c=,试用a b c、、表示⑵求异面直线PF与BE所成地角地余弦值.例2、在如图所示地空间直角坐标系中，正方体AC1地棱长为2，P、Q分别是BC、CD上地动点，且||PQ=，(1)确定点P、Q地位置，使得11B Q D P⊥；(2)当11B Q D P⊥时，求二面角C1-PQ-A地大小.例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，DAB∠为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD地中点，(1)试证：CD BEF⊥面；(2)设PA k AB=⋅，且二面角E-BD-C地平面角大于30o，求k地取值范围.例4、如图，在棱长为1地正方体ABCD A B C D''''-中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥A D'，截面PQGH∥AD'．(1)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；(2)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；(3)若D E'与平面PQEF所成地角为45，求D E'与平面PQGH所成角地正弦值．BAA BCDEFP QH GD′C′A′B′。