（当 t≥t0 ）则称 x e 为系统平衡。
x e如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0 ，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
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非线性控制理论
第二章 相平面分析
一种用于研究二阶系统的图形方法。 在二维平面内(二维坐标系)，图示出各种初始条件下系 统的运行轨迹，根据该轨迹分布图检查系统的某些特征。 可得到诸如系统稳定性判定等一些运动信息。
高阶系统在计算和几何表示上都比较复杂，因此本方法 局限于二阶、一阶系统。
控制理论基础中已有学习，略。
严格地说，所有的物理系统都是非自治的，自治系 统的概念是一个理想化的概念。
自治系统和非自治系统之间的基本区别是：自治系 统的状态与初始时间无关，非自治系统的状态通常不 是这样。这种区别要求在定义非自治系统的稳定性概 念时明显地考虑起始时间，从而使得对非自治系统的 分析要比自治系统困难得多。 初始松弛系统 （即：初始条件为零）
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例3-1 一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统 的运动由如下微分方程描述。
m fx k x 0 x
令
m 1
fx k x 0 x
（1）
选取状态变量
则系统的状态方程为
x1 x
x1 x2 x2 kx1 fx 2
x2 x x1
线性系统中我们有时变和定常的说法，在非线性 系统理论中，习惯上用“自治的”和“非自治的” 来代替。
定义：如果非线性方程(3.1.1)中的非线性矢量函 数不明显地与时间有关，即如果系统的状态方程能 够写为：
x f (x )
(3.1.3)
则此系统称为自治的。否则系统称为非自治的。
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很明显，线性定常系统是自治的，线性时变系统是 非自治的。
3
对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性 问题的研究，经典控制理论无能为力。可利用俄罗斯科
学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分
析和研究。
A. M. Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定 性的一般问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控
制理论的最重要的几个柱石之一。
2
第三章 李亚普诺夫理论基础
控制系统的首要性质是它的稳定性，因为一个不稳定 的系统一般是没有什么用处的，往往还有潜在的危险。 定性地说，如果一个系统在靠近其期望工作点的某处
开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运行，那
么就把该系统描述为稳定的。单摆的两个平衡点(顶端和 底端)常常用来说明不同稳定性的特性。底端是一个稳定 的平衡点，而顶端是一个不稳定的平衡点。
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3.2 李亚普诺夫稳定性概述
李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法：
间接法：第一种方法是求出线性化以后的常微分方程 的解，从而分析原系统的稳定性，又称李亚普诺夫第一法。 直接法：第二种方法不需要求解微分方程的解，而 能够提供系统稳定性的信息。又称李亚普诺夫第二法。 对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种 方法特别重要。它基于一种广义能量函数及其随时间变化 的特性来研究系统稳定性。以下通过一个例子来说明。
d 可见，只有在 x2 0 时， E /d t 0 。在其他各处均有 d E /d t 0， 这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
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平衡状态
平衡状态—— 一般地，系统状态方程为 x f ( x, t ) ，其初始状态 为x (t0 ) 。系统的状态轨线 x (t ) 是随时间而变化的。当且仅当 x xe

（2）
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在任意时刻，系1 , x2 ) x2 kx1 2 2 显然，当x 0时 E ( x) 0 ， 而当 x 0 时 E (0) 0
而总能量随时间的变化率为 d E d x1 E d x2 2 E ( x1 , x2 ) kx1 x1 x2 x2 fx 2 dt x1 d t x2 d t
不对微分方程求解而直接研究系统的性能。
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除了稳定性分析以外，李亚普诺夫直接法的一个重 要应用是非线性控制器的设计，其想法是设法建立系统 状态的某个标量正定函数，然后选择一个控制律使得该
函数下降。这样设计出的非线性控制系统将会确保稳定。
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3.1 几个基本概念的描述
3.1.1非线性系统
一个非线性系统通常可用下列形式的一组非线 性微分方程来表示： x f ( x, t ) (3.1.1) 其中 f 为 n 1 维非线性矢量函数， 为 维 状态向量。状态的个数 n 叫做系统的阶。方程的 一个解 x (t ) 通常对应于状态空间内 从0变到无穷 大时的一条曲线。
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3.1.3 平衡点
定义平衡点：如果系统状态一旦等于x*，系统状态 将永远维持在x*，则称x*是系统的一个平衡点。
实际上，平衡点的特性是：
0 f ( x, t)
(3.1.4)
即在平衡点时，系统状态变化的速率为零，状态维 持在一个固定的值。求解代数方程组(3.1.4)可以得到系 统的平衡点。
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间接法(或线性化法)：在平衡点附近，一个非线性系 统的稳定特性基本上与其线性化逼近的稳定特性相同，这 种方法成为把线性控制用于很多固有非线性的物理系统的
理论依据。
6
直接法(李亚普诺夫方法)：从机械系统的相关能量概 念归纳出来，即如果一个机械系统运动的总机械能一直随 着时间减少，那么该运动就是稳定的。用直接法分析非线 性系统的稳定性时，其想法在于为该系统构造一个标量类 能量函数(李亚普诺夫函数)，观察此函数是否下降。此方 法具有普遍性，适用于任何系统，如时变的、定常的、线 性的、非线性的、有限维的、无限维的等。局限性：往往 很难为给定系统求得一个合适的李亚普诺夫函数。
x n
t
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虽然(3.1.1)中没有明显地包含控制输入作为一个变量，
但是它可以直接用于反馈控制系统，因为控制输入一般是
状态变量的函数，因此(3.1.1)可以表示包含控制输入的反 馈控制系统的反馈控制系统的闭环动态特性。即
x f x, u( x, t ), t
(3.1.2)
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3.1.2 自治和非自治系统
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研究非线性系统稳定性的有力工具是李雅普诺夫理 论，它是19世纪俄国科学家李雅普诺夫在他的《动态稳 定性的一般问题》中提出来的，包括两种稳定性分析方 法(即所谓线性化方法和直接法)，并于1892年首次发表。 今天，李雅普诺夫的线性化方法已成为表示线性控 制的理论依据。 而李雅普诺夫直接方法已成为非线性系统分析和设计的 最重要的工具，线性化方法和直接方法一起构成了所谓 的李雅普诺夫稳定性理论。