实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
1
ωt
y1 (t ) B1 sint
由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1 ( ) A A A A

M sin td ( t )
yMFra bibliotek0 π2π
ωt
所以基波分量为：
y1 ( t )
4M

sin t
故理想继电器特性的描述函数为
Y1 4M N ( A) 1 A A
2.饱和特性
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时， 饱和特性的输出波形如图7-10所示。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
r(t)=0 x
N
y
G(s)
c(t)
图7-8 非线性系统典型结构图
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即 y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不 包含直流分量。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤 除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认 为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法 所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。
t
1
x0>1
x0<1
0
当x0 >1，t <lnx0/(x0 1) 时，随t增大， x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，x(t)为 无穷大。当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x 1 0
因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关， 而且与系统的初始条件有直接的关系。
（1）稳定性的复杂性
对于线性系统，其稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系 统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。 考虑非线性一阶系统： x(t) x x 2 x x( x 1)
设t = 0时,系统的初始状态为x0
x0e dx dt x( t ) t 1 x x e x( x 1) 0 0 相应的时间响应随初始条件而变。
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义 1.描述函数的应用条件 （1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N和 一个线性部分G(s)串联的闭环结构，如图7-8所示。
（3）计算机求解法：用计算机直接求解非线性微分方
程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的。
本章以系统分析为主，而且是以稳定性分析为核心
内容，着重介绍在工程上广泛应用的描述函数法。
※7.2 描述函数法
• 描述函数的定义
• 描述函数的求法
• 组合非线性特性的描述函数 • 用描述函数法分析非线性系统
y b
-a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还 有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一 些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非 线性。 7.1.2 非线性系统的若干特征 非线性系统与线性系统最本质的区别为：由非 线性微分方程描述，不满足叠加原理，故在非线 性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两 者之间有着不同的运动规律。 具体表现在：
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输 出为零，其静持性关系如图7-2所示。 y 其数学表达式为
-a 0
a k x
0,| x | a y k ( x a ), x a k ( x a ), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性 死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
1, x 0 signx 1, x 0
xa 0 y k ( x asignx ) x a
3 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是 在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3 所示。其数学表达式为： k ( x asignx ) y 0 y y b y0 bsignx
第七章
非线性系统
内容提要
7.1 7.2 典型非线性特性 描述函数法
相平面法
*7.3
前面几章讨论的都是线性系统，实际上所有的实
际系统都不可避免地带有某种程度的非线性，只要具 有一个非线性环节，就称作非线性系统，因此严格的 说所有系统都是非线性系统。
本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以及
其中的一种基本分析方法——描述函数法。
2π
ωt
图7-9 理想继电器特性的输出波形
由于输出周期方波信号是奇函数，则傅氏级数 中的直流分量与基波偶函数分量的系数为零 A0＝A1=0 ，而基波奇函数分量的系数为：
B1 2


0
1
2
0
y( t ) sin td t 4M

2

0
y( t ) sin td t
y b -a -ma
0
ma a -b
x
图7-4 继电器特性
0 0 ma x a , x 0 0 a x ma, x y bsignx x a b 0 ma x a , x 0 b a x ma, x
y( t ) y1 ( t ) A1 cos t B1 sin t Y1 sin( t 1 ) 式中 A1 B1 Y1

1
1
2
0 2
y( t )cos td t y( t )sin td t
2 1
0
A B
2 1
（2）可能存在自激振荡 无外界周期信号输入时产生的具有固定振幅 和频率的稳定振荡。对于线性二阶系统，也会出 现等幅振荡，但不会是稳定的振荡（Why？）。 （3）频率响应
对于线性系统，输入是正弦函数时，其稳态 输出也是同频率的正弦函数，可以用频率特性来 描述；而非线性系统输出是非正弦周期函数。 可见，非线性系统要比线性系统复杂的多，会 存在多种运动状态。已无法用线性系统理论解释或 分析，必须应用非线性理论来研究。
Y1 j1 N ( A) e A
2 A1 B12
A
A1 arctan B1
下面计算几种典型非线性特性的描述函数。 1．理想继电器特性
当输入为x(t)＝Asinωt时，理想继电器特性的输出波
形如图7-9所示：
y
y
M
0 x -π
M
0 π
2π
ωt
-M
0 x
x
N
y
π
y M x 0 y M x 0
y b -a
0
y
b
y b
0
x
a
x
-a
0
a
x
-b
(a)
-b
(b)
(c )
-b
图7-5 三种继电器特性
（a）理想继电器特性 （b）死区继电器特性（c）滞环继电器特性
特殊情况： (1)若a＝0，称这种特性为理想继电 器特性，如图7-5 (a)所示. (2)若m=1，其静特性如图7-5(b)所示， 则称为死区继电器特性. (3)若m＝-1，则称为滞环继电器特性， 如图7-5(c)所示。
2.描述函数的定义
对于图7-8所示的非线性系统，设系统的非线性环节输入 信号是正弦信号：
x(t ) A sin t
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y( t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1

若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
-a
0
a
-b
x
图7-3 滞环特性
这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当x>a 时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变 化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。 例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。
4 继电器特性
继电器非线性特性一般可用图 7-4 表示，不仅包含 死区，而且还具有滞环特性，其数学表达式为：
An Bn
1

1

2
0 2
y( t ) cos n td t y( t ) sin n td t

0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn 越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波分量又 进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含 基波分量，即