q + q′ = 0 得 q′ = −q 4πεR0
()
()
()
R R R
φ r′ = φ r′ = φ r′ =
( ) ( ) ( )
1 4 πε 1 4 πε 1 4 πε
0 0 0
∫ ∫ ∫
ρv r′ ρ s r′ ρl r′
v
( )d v ′
s
( )d s ′
l
( )d l ′
式中 R =| r − r ′ | ，为源点至场点的距离。
5
§3.1
因此，任一极化介质区域内部的体束缚电荷总量与其表面的总束缚电荷是等值 异性的，介质整体呈电中性。
13
§3.2
静电场中的介质
二、介质中的高斯定理，相对介电常数
介质中的高斯定理： ∇ ⋅ E =
′ ρv + ρv ε0
′ 带入可得： 将 ρv
∇⋅ ε0 E + P = ρv
(
)
定义电通量密度： D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e )E = ε E 式中： ε = ε0εr ,
第3章 静电场及其边值问题解法
本章先研究静电场的电位方程和介质特性。 本章还将介绍两种求解静电场边值问题的方法。
主要内容 静电场与电位方程 静电场的介质 镜像法 分离变量法
§3.1 静电场基本方程与电位方程
一、静电场基本方程
静电场的场源电荷和所有场量都不随时间变化，只是空间坐标的函数。
由麦克斯韦方程组得静电场基本方程：
r>a:
2 ∫ E ⋅ ds = rˆE ⋅ rˆ 4π r = s
E 4π r 2 =
− ρ0 4 3 πa , ε0 3
− ρ0 4 3 − ρ 0r ˆ πr , E = r ε0 3 3ε 0 − ρ 0a 3 ˆ E =r 3ε 0 r 2
（b）采用球坐标旋度和散度表示式，因 E只有
∇ × E = θˆ
ε r −1 q 2 4πε r r
则在紧贴q的表面上，总的面束缚电荷量为：
εr −1 q εr r→0 r→0 ε r −1 q ′ ′ q q Q q q = + = − = 此时产生电场的总电荷量减少为： εr εr
ˆ ⋅ P = lim4πr2 (− r ˆ) ⋅ P = − Q′ = lim4πr2n
，并利用矢量恒等式
∇ ⋅ φ A = φ∇ ⋅ A + A ⋅ ∇φ
( )
12
§3.2
静电场中的介质
可将电位中的积分分为两项：
φr =
()
⎛ P r′ ⎜ ′ ∇ ⋅ 4πε 0 ∫v ⎜ ⎝ R 1
( )⎞ ⎟ dv ′ −
⎟ ⎠
1 ∇′ ⋅ P r ′ 或 ′ d v φ r = 4πε 0 ∫v R 4πε 0
( )dv′ , R =| r − r ′ |
∇2φ = 0
在无源区，泊松方程化为拉普拉斯方程：
6
§3.1
静电场基本方程与电位方程
例3-1 空气中有一个半径为a的球形电子云，其中均匀分布着体电荷密度为 ρ v = − ρ 0 (C m3 ) 的电荷，求： （a）球内外的电场强度； （b）验证静电场的两个基本方程； （c）球内外的电位分布； （d）验证静电场的电位方程。 解:（a）因为电荷均匀分布于球体中，所有电场有球对称性。可应用高斯 定理求距球心r处的电场强度。取该处球面为高斯面，有： 当 r<a: 当
静电场基本方程与电位方程
三、电位方程
根据静电场的基本方程 ∇⋅ E = ρv ε ，以及 E = −∇ φ ，得泊松方程：
∇ 2φ = − ρv ε
在无界均匀媒质中，当体积V中有体电荷密度 ρ v r ′ 分布时，泊松 方程的解为：
()
φ r′ =
证明：见P.66-67
()
1 4πε
∫
ρv r′
R
v
21
§ 3.6 镜像法
z
q
p ( x, y , z )
ε
h
x
* 选无穷远处为参考点，则在z>0的空间任一点p的总电位是： φ =
q 4 πε R
+
q′ 4 πε R ′
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。 故对z=0平面上任意点有 (R = R′ = R0 ) :
φ=
q ⎛1 1 ⎞ q ⎡ 1 − = − φ= ⎢ 2 ⎜ ⎟ 2 2 4πε ⎝ R R ′ ⎠ 4πε ⎢ ⎣ x + y + ( z − h)
1 ∂ ⎛ 2 ⎜r r 2 ∂r ⎜ ⎝ 1 ∂ ⎛ 2 ⎜r r > a: ∇⋅E = 2 r ∂r ⎜ ⎝ r < a: ∇⋅E =
得证。 得证。
（c）取 r → ∞处为电位参考点，得 当 当
r <a: φ = r > a: φ =
∫ ∫
∞
r ∞
Edr =
∫
a
r
− ρ0r dr + 3ε 0
∞
εr =1+ χe
则可得：
∇ ⋅ D = ρv
可见，D 的源是自由电荷， D矢量线从正自由电荷出发终止于负的自由电荷。
14
§3.2
静电场中的介质
作业：3.1-3，3.2-2
举例说明介质极化是如何影响电场的：
ˆ 坐标原点处点电荷q在P点产生的电场为： E = r
由上式得：
q 4πε0ε r r 2
ˆ P = D − ε0 E = r
惟一性定律为静电场问题的多种解法(解析解、数值解等）提供了思 路及理论根据。
19
§3.6 镜像法
镜像法:
用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质 空间，使计算简化。
要点：
确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原电荷共同产生的场 保持原有边界条件不变，根据惟一性定律，所得的解是惟一的。
∇× E = 0
微分形式
∇ ⋅ D = ρv ∇ ⋅ E = ρv ε
积分形式
∫ ∫ ∫
l l l
E ⋅ dl = 0 D ⋅ ds = Q E ⋅ ds = Q ε
第三个仅适用于简单媒质，其中
D =εE
2
§3.1
静电场基本方程与电位方程
二、电位定义
1）电位的引出
∵∇× E = 0
根据矢量恒等式
∇ × ∇φ = 0
r >a: φ =
r
∫
0
a
− ρ 0r − ρ 0a 3 ρ 0a 2 dr = + 3ε 0 3ε 0 r 2ε 0
由上可见，电位参考点取得不同，电位值仅差一常数 − ρ 0 a 2 2ε 0 ，它是以 r → ∞ 处为零电位时球心（r=0）处的电位。
8
§3.1
静电场基本方程与电位方程
（d）采用球坐标拉普拉斯表示式，因 当 当
可见，正是总电荷量由真空时的 q 减少至 q′ = q εr ，从而使电场也减弱至 1 ε r 。
15
§3.5
一、静电场边值问题
静电场边值问题，惟一性定律
电位方程
∇ 2φ = − ρ v ε
电位边界条件
∂ϕ1 ∂ϕ2 = ε2 两种介质分界处 ϕ1 = ϕ 2、ε 1 ∂n ∂n ∂ϕ1 = − ρs 导体介质分界处 ϕ1 = Cons.、ε 1 ∂n
r<a: r>a: ∇ 2φ =
φ 只是r函数，得
得证。
1 ∂ ⎛ 2 ∂φ ⎞ 1 ∂ ⎛ 2 ρ 0 r ⎞ − ρ v ⎜r 2 ⎟= , ⎜r ⎟= ε0 6ε 0 ⎟ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂r ⎜ ⎝ ⎠ 1 ∂ ⎛ 2 − ρ 0a 3 ⎞ 2 ⎜r ⎟ = 0, ∇φ= 2 得证。 2 ⎟ ε 3 r ∂r ⎜ r 0 ⎝ ⎠
∫
∞
a
ρ 0r 2 ρ 0a 2 − ρ 0a 3 dr = − 3ε 0 r 2 6ε 0 2ε 0
r
Edr = − ∫
a
− ρ 0a 3 ρ0a3 dr = − 3ε 0 r 2 3ε 0 r
若取r=0处为电位参考点，则得 当 当
r<a:
φ =
∫ ∫
0
r a
− ρ 0r ρ 0r 2 dr = 3ε 0 6ε 0 − ρ 0a 3 dr + 3ε 0 r 2
dv′
，其电偶极矩为 d p = Pd v ′，产生的电位为(P70)：
ˆ P r′ ⋅ R dφ r = dv ′, 2 4πε 0 R
() ( )
R = r − r′
则体积v中的所有电矩在场点产生的电位为：
ˆ P r′ ⋅ R φr = dv′ 2 ∫ 4πε 0 v R
()
1
()
ˆ R ⎛1 ⎞ ′ 由式 ∇ ⎜ ⎟ = 2 ⎝R⎠ R
10
§3.2
静电场中的介质
极化强度
极化强度定义为介质中给定点处单位体积中电矩的矢量和： P =
∑p
i =1
N
i
Δv
对于均匀、线性，各向同性的简单媒质： 式中电极化率
P = χ eε 0 E
χ e [ka:]是正实数。
11
§3.2
静电场中的介质
束缚电荷密度
极化介质对电场的影响可归结于束缚电荷所产生的影响，极化介质内取一微分 体积元
9
§3.2 静电场中的介质
一、介质的极化
理想的电介质内部没有自由电子，其电子被原子核紧紧束缚于其周围，这些电子不 会自由运动，称这些电荷为束缚电荷。 无极分子 有极分子
E0 = 0
±±±±± ±±±±± ± ±± ±±