数列的概念及表示方法ppt
所以:数列可以看成以正整数集N*(或它的有 限子集{1,2,3,4,…,n})为定义域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时, 所对应的一列函数值。反过来,对于函数y=f(x),如 果f(i) (i=1,2,3,…)有意义,那可得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…f(n),… 即数列是一种特殊的函数。
观察下列图形:
三角形数 1, 3, 6, 10, .…..
正方形数 16, ……
1,
4,
9,
提问:这些数有什么规律吗?
1,2,3,4,5,· n, · . · · · ·
(1)
1 1 1 1 1 1, , , , ,· ,· . (2) · · · · 2 3 4 5 n
பைடு நூலகம்
1,1.4,1.41,1.414, · . · · 4,5,6,7,8,9,10.
根据数列的定义知数列是按一定顺序排列 的一列数,因此若数列中被排列的数相同,但 次序不同,则不是同一数列。 如: 数列(4) 4,5,6,7,8,9,10。 数列(5) 10,9,8,7,6,5,4。
又如:数列(6) -1,1,-1,1,·。 · ·
数列(六) 1,-1,1,-1,·。 · ·
数列的一般形式可以写成:
如果数列 an 的第 n 项与序号 n之间可以用一个式子来表示,那这 个公式就叫做这个数列的通项公式。
1 如上面数列的通项公式为: a n n 又如数列:-1,1,-1,1, · . · ·
1 1 1 1 1 数列: 1, , , , ,· ,· . · · · · 2 3 4 5 n 的第n项an与序号n之间的函数关系能表示出来吗
递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,
有些项小于它的前一项的数列
看书本P33页观察 观察下列数列的每一项与这一项的序号是 否有一定的对应关系? 1 1 1 1 1 , ,, ,, 项 2 3 4 5 序号 项
数列
2,4,6,8,10,……
其通项公式是:
图象为:
an
10 9 8
an 2n
7
6 5
4
3 2
0
1
2
3
4
5
n
例2、图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三 角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次 构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项 公式,并在直角坐标系中画出它的图象。
a1, a2 , a3 ,an ,,
其中 an是数列的第n项,上面的数列又可简记为
an
数列的分类:
1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列. 例如数列1,2,3,4,5,6,…是无穷数列 2)根据数列项的大小分:
an 30 27 24 21 18 15
an 3
n 1
12
9 6 3
o
1
2
3
4
5
n
写出下面数列的一个通项公式,使它 的前4项分别是下列各数:
( ) 2,4,8. 1 1, ( 2)1 0 1 0 01 0 0 01 0 0 0 0 , , , 。 (3 9,9 9 9 9 9 9 9 9 )9 , , 。 (4),5 5 5 5 5 5 5 5 55 , , 。 (5 0.9,0.9 9,0.9 9 9 0.9 9 9 9 ) , ( 6) 2, 5 ,2 2, 1 1.
问题:如果一个数列{an}的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1, 即 an = 2 an-1 + 1(n∈N,n>1),(※) 你能写出这个数列的前三项吗?
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法, 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公 式也是数列的一种表示方法。 例3 设数列{an}满足
1 2 3 4 5
。。。
2, 4, 6, 8, 10,。。。
1 2 3 4 5
。。。
序号
数列中的每一个数都对应着一个序号, 反过来,每个序号也都对应着一个数。
项 序号
1 1 1 1 1 , ,, ,, 2 3 4 5
1 2 3 4 5
。。。
这说明:数列的项是序号的函数,序号从1 开始依次增加时,对应的函数值按次序排出就 是数列,这就是数列的实质。
通项公式为: n 1 a ( )
n
如果只知道数列的通项公式, 那能写出这个数列吗?
根据下面数列 an 的通项公式,写出 它的前5项:
(1)
n an n 1
(2) an 1 n
n
例1、 写出下面数列的一个通项公式,使它的 前4项分别是下列各数:
an 2n 1 ( ) 3,5,7; 1 1, 2 an (n 1) (2),16 25 4 9, , ; 1 1 1 a (1) n 1 1 (3)1 , , ; n , n 2 3 4 n1 an 1 (1) (4), 2, 2 0, 0。
10,9,8,7,6,5,4。
(3) (4)
(5)
-1,1,-1,1, · . · ·
(6)
1,1,1,1, · . · ·
(7)
定义:
按照一定顺序排列的一列数叫数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的每一项都和它的序号有关,排第 一位的数称为这个数列的第1项(首项),
排第二位的数称为这个数列的第2项,··,排第n ·· ·· 位的数称为这个数列的第n项.
写出这个数列的前五项。
小结:
本节课学习的主要内容有: 1、数列的定义—按照一定顺序排列的一列数 2、数列的实质—特殊的函数(离散函数); 3、数列的通项公式(即函数解析式)及求法; 4、数列的表示方法:(类比函数的表示法) 列表法,通项公式法,图象法, 递推公式法