15．3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
【出示目标】
1．理解分式方程的意义．
2．了解分式方程的基本思路和解法．
3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．
【预习导学】
自学指导：阅读教材P149－151，完成下列问题．
1．填空：
(1)分母中__不含有__未知数的方程叫做整式方程
(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．判断下列说法是否正确：
①2x ＋32＝5是分式方程；②34－4x ＝4x ＋3
是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程；④1x ＋1＝1y －1
是分式方程． 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．
【自学反馈】
1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①x －22＝x 3；②4x ＋3y
＝7； ③1x －2＝3x
；④x （x －1）x ＝－1； ⑤3－x π＝x 2；⑥2x ＋x －15
＝10； ⑦x －1x ＝2；⑧2x ＋1x
＋3x ＝1. 解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数．
②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数．
【教师点拨】判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数．
2．解分式方程的一般步骤是：(1)__去分母__；(2)__解整式方程__；(3)__验根__；(4)__小结__．
【合作探究】
活动1 小组讨论
【例1】 解方程：2x －3＝3x
. 解：方程两边乘x (x －3)，得2x ＝3(x －3)．
解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，x (x －3)≠0.
所以，原分式方程的解为x ＝9.
【例2】 解方程：x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）
. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.
解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0.
所以x ＝1不是原方程的解．所以，原方程无解．
活动2 跟踪训练
1．解方程：
(1)12x ＝2x ＋3； (2)x x ＋1＝2x 3x ＋3
＋1； (3)2x －1＝4x 2－1； (4)5x 2＋x －1x 2－x
＝0. 解：(1)方程两边乘2x (x ＋3)，得x ＋3＝4x .去分母：x ＋3＝4x .化简得：3x ＝3.解得x ＝1. 检验：将x ＝1代入2x (x ＋3)≠0.所以x ＝1是方程的解．
(2)方程两边乘3(x ＋1)，得3x ＝2x ＋3x ＋3.解得x ＝－32
. 检验：将x ＝－32
代入(3x ＋3)≠0. 所以x ＝－32
是方程的解． (3)方程两边乘x 2－1，得2(x ＋1)＝4.解得x ＝1.
检验：将x ＝1代入x 2－1＝0，所以x ＝1不是方程的解．所以，原方程无解．
(4)方程两边乘x (x ＋1)(x －1)，得5(x －1)－(x ＋1)＝0.解得x ＝32
. 检验：将x ＝32
代入x (x ＋1)(x －1)≠0. 所以x ＝32
是原方程的解． 【教师点拨】方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母．
2．解分式方程：(1)x x －1＝32x －2
－2； (2)x －3x －2＋1＝32－x
； (3)2x 2x －1＝1－2x ＋2
. 解：(1)方程两边乘2x －2，得2x ＝3－2(2x －2)．解得x ＝76
. 检验：当x ＝76时，2x －2≠0.所以x ＝76
是原方程的解． (2)方程两边乘x －2，得x －3＋x －2＝－3.
解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，x －2≠0.所以，x ＝1是原方程的解．
(3)方程两边乘(2x －1)(x ＋2)，得2x (x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－2(2x －1)．
解得x ＝0.
检验：当x ＝0时，(2x －1)(x ＋2)≠0.所以，x ＝0是原方程的解．
【课堂小结】
解分式方程的思路是： 分式方程――→去分母两边都乘以最简公分母一化二解三检验整式方程―→验根
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．
第2课时 分式方程的应用
【出示目标】
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结．
【预习导学】
自学指导：阅读教材P152－153，完成下列问题．
1．列方程解应用题的一般步骤是： (1)____审题设未知数__． (2)____找等量关系列方程__． (3)____解方程__． (4)____验根是否符合实际意义__． (5)____答题__． 2．类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是： (1)____审题设未知数__．
(2)____找等量关系列方程__．
(3)____去分母化分式方程为整式方程__．
(4)____解整式方程__．
(5)____验根是否符合实际意义__．
(6)____答题__．
【自学反馈】
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖__12÷4＝18
__，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x 天，那么一天挖__1x __；两台挖土机一天共挖__18＋1x
__；两台一天完成另一半．所以方程为：__18＋1x ＝1,2)__；解得x ＝__83__，即乙单独挖需__83
__天． 【教师点拨】认真分析题意．根据等量关系列方程．
【合作探究】
1．甲乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：
路程 速度 时间 甲 18＋1×2 x ＋0.5 18＋1×2x ＋0.5
等量关系：t 甲＝t 乙．
解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时．
根据题意，列方程得
18＋1×2x ＋0.5
＝18x . 解得x ＝4.5.
检验：当x ＝4.5时，x (x ＋0.5)≠0.所以，x ＝4.5是原方程的解．则x ＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时．
【教师点拨】等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米．
2．A 、B 两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．
解：设大汽车的速度为2x 千米/小时，小汽车的速度为5x 千米/小时．
根据题意，列方程得135－2x ×52x ＝135－12×5x 5x
. 解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，10x ≠0.所以，x ＝9是原方程的解．
则2x ＝18，5x ＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时．
【教师点拨】等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间．
3．一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x 天，则甲队独做需x 天，乙队独做需(x ＋3)天，根据题意，列方程得 2x
＋错误!＝1.解得x ＝6. 检验：当x ＝6时，x (x ＋3)≠0.所以，x ＝6是原方程的解．
答：规定日期是6天．
【课堂小结】
1．列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤．
2．列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系．
3．解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系．
4．注意不要遗漏检验和写答案．
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．。