21. （14分）函数1()()2ln f x p x x x=--，2()e g x x=，p R ∈，（1）若()f x 在2x =处取得极值，求p 的值；（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（3）若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求p 的取值范围.（2）由已知，0)('≥x f 恒成立，或0)('≤x f 恒成立. 若0)('≥x f 恒成立，即122+≥x xp 在()+∞∈,0x 恒成立，即max212⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥xxp则当1=x 时，1)(max =x h ；当0→x 或+∞→x 时，0)(min →x h 0≤∴p 或1≥p ………9分（3）)(x g 在[]e ,1上单调递减，)(x g ∴的值域为[]e 2,2. ………10分 ①若1≥p ，由（2）知：)(x f 在[]e ,1上单调递增，)(x f ∴的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2)1(,0e e p . 要满足题意，则22)1(>--ee p 即可，142->∴eep ………12分min max )(20)(x g x f =<= ，∴此时不满足题意. ………13分min )(221x g ee =<--，∴此时不满足题意.22．（本小题满分14分）已知函数()ln ()1a f x x a x =+∈+R ．（1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小；（3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）22解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x xx f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． ……………4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………5分（2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x xx h ，)(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令kk x 1+=，则有1211ln+>+k kk ， ∑∑==+>+∴nk nk k kk 111211ln． ……………12分∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ，1215131)1ln(++++>+∴n n ． ……………………………………14分(法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=． 3ln 2ln 81=> ，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++ ．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++ ． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++ ，即1n k =+时命题也成立．……………13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分20.(本小题满分13分)设函数2()ln f x x m x =-，2()h x x x a =-+.（1）当2m =时，若方程()()0f x h x -=在[]1,3上恰好有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使函数()f x 和函数()h x 在公共定义域上具有相同的单调区间？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）（1）解：()()0f x h x -=222ln x x x x a ⇒-=-+2ln a x x ⇒=-令()2ln g x x x =-'222()1x x g x -=-=得：函数()2ln g x x x =-在[]1,2内单调递减；函数()2ln g x x x =-在[]2,3内单调递增。

又因为(1)1,(2)22ln 2,(3)32ln 3g g g ==-=-故22ln 232ln 3a -<≤-（2） 2()h x x x a =-+在12(0,)单调递减；12(,)+∞单调递增 ∴2()ln f x x m x =-也应在12(0,)单调递减；12(,)+∞单调递增 '22()2mx m xxf x x -=-=，当0m ≤时，2()ln f x x m x =-在(0,)+∞单调递增，不满足条件. 所以当0m >且212m =即12m =.46． 已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx eex>-成立．46．【参考答案】[解析]：(1) '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增．① 102t t e<<+<，t 无解；② 102t t e<<<+，即10t e<<时，m in 11()()f x f ee==-；③12t t e≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以m in110()1ln t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，． (2) 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，设3()2ln (0)h x x x x x=++>，则2(3)(1)'()x x h x x+-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以m in ()(1)4h x h ==．因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=． （3） 问题等价于证明2ln ((0,))xx x x x ee>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e-，当且仅当1x e=时取到．设2()((0,))xx m x x ee=-∈+∞，则1'()xx m x e-=，易得m a x 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx eex>-成立．47．已知函数2()(,)m xxnf x m n R +=∈在1x =处取得极值2.⑴求()f x 的解析式；⑵设A 是曲线()y f x =上除原点O 外的任意一点,过O A 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ,试问：是否存在这样的点A ,使得曲线在点B 处的切线与O A 平行？若存在,求出点A 的坐标；若不存在,说明理由； ⑶设函数2()2g x x ax a =-+,若对于任意1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,求 实数a 的取值范围. 47．【参考答案】 解：⑴∵2()m x x nf x +=,∴222222()2()()()m x n mx xmn mx x n x n f x +-⋅-++'==.又()f x 在1x =处取得极值2.∴(1)0(1)2f f '=⎧⎨=⎩,即2(1)(1)102m n n m n-++⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得1n =,4m =,经检验满足题意,∴241()x x f x +=.⑵由⑴知22244(1)()xx f x -+'=.假设存在满足条件的点A ,且020041(,)x x A x +,则2041OA x k +=,又2020022220044()16(4)22(4)[()1]2()x x x x x f --++'==.则由02()O A x k f '=,得202220016(4)41(4)x x x -++=,∴420054x x =,∵00x ≠,∴2045x =,得0255x =±.故存在满足条件的点A ,此时点A 的坐标为258559(,)或258559(,)--.⑶解法1：224(1)(1)(1)()x x x f x -+-+'=,令()0f x '=,得1x =-或1x =.当x 变化时,()f x '、()f x 的变化情况如下表：x (,1)-∞-1- (1,1)- 1 (1,)+∞()f x '-+-()f x单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减∴()f x 在1x =-处取得极小值(1)2f -=-,在1x =处取得极大值(1)2f =. 又0x >时,()0f x >,∴()f x 的最小值为(1)2f -=-.∵对于任意的1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,∴当[1,1]x ∈-时,()g x 最小值不大于2-.又222()2()g x x ax a x a a a =-+=-+-.∴当 1a ≤-时,()g x 的最小值为(1)13g a -=+,由132a +≤-,得1a ≤-； 当1a ≥时,()g x 最小值为(1)1g a =-,由12a -≤-,得3a ≥；当11a -<<时,()g x 的最小值为2()g a a a =-.由22a a -≤-,即220a a --≥,解得1a ≤-或2a ≥.又11a -<<,∴此时a 不存在.综上,a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ . 解法2：同解法1得()f x 的最小值为2-.∵对于任意的1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,∴当[1,1]x ∈-时,()2g x ≤-有解,即2220x ax a -++≤在[1,1]-上有解.设2()22h x x ax a =-++,则244(2)4(1)(2)011(1)330(1)30a a a a a h a h a ⎧∆=-+=+->⎪-≤≤⎪⎨-=+≥⎪⎪=-+≥⎩得a ∈∅, 或(1)(1)(33)(3)0h h a a -=+-+≤,得1a ≤-或3a ≥.∴1a ≤-或3a ≥时,2220x ax a -++≤在[1,1]-上有解,故a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ . 解法3：同解法1得()f x 的最小值为2-.∵对于任意的1x R ∈,总存在2[1,1]x ∈-,使得21()()g x f x ≤,∴当[1,1]x ∈-时,2()22g x x ax a =-+≤-有解,即2(21)2x a x -≥+在[1,1]-上有解.令21x t -=,则22214tt x ++=,∴2294,[3,1]tt at t ++≥∈-.∴当[3,0)t ∈-时,19119424(2)[()()]1tta t t ≤++=--+-≤-；当0t =时,得940≥,不成立,∴a 不存在；当(0,1)t ∈时,194(2)ta t ≥++.令9()2,(0,1]tt t t ϕ=++∈,∵(0,1]t ∈时,29()10tx ϕ'=-<,∴()t ϕ在(0,1]上为减函数,∴()(1)12t ϕϕ≥=,∴14123a ≥⨯=.综上,a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞ .19．（本小题满分13分） 已知函数()ln(1)1ax f x x x =+++()a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()x f y =的图象在0x =处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性； （Ⅲ）求证：2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n N ∈）． 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1x f x x x =+++，∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ···································································· 1分∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ······················································· 2分 又∵()00f =，所以切点为()0,0. ··································································· 3分 故所求的切线方程为：3y x =. ········································································ 4分 （Ⅱ）∵()ln(1)1ax f x x x =+++(1)x >-， ∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x a f x x x x +-++'=+=+++． ··························································· 5分①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ······························································ 6分 ②当0a <时， 由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--；·························· 7分综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ········ 8分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时，()()ln 11x f x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ···················································· 9分∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11x x x +>+． ····································10分令1x n=（*n ∈N ），则111ln 1111n n n n ⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+． ··············································· 11分另一方面，∵()2111n n n<+，即21111n n n-<+,∴21111n nn>-+．··························································································12分∴ 2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．····································································13分方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ····································· 9分 ∴1(21)'()1211x x F x x xx +=-+=++， ······························································10分∴当01x <≤时,'()0F x >；∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ········································································ 11分 ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >∴(0,1]x ∀∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- ································12分 令1x n=（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭．····················································13分22．（本小题满分12分）设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点，其中m n <，a R ∈．（Ⅰ） 求()()f m f n +的取值范围；（Ⅱ） 若12a e e≥+-，求()()f n f m -的最大值．22．(Ⅰ)解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(2)1()(2)x a x f x x a xx-++'=+-+=．依题意，方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ，n （其中m n <）．故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩，并且2,1m n a mn +=+=． 所以，221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<-故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-． …………5分(Ⅱ)解:当12a e e≥+-时，21(2)2a e e+≥++．若设(1)n t t m=>，则222()11(2)()22m n a m n t e mnte++=+==++≥++．于是有111()(1)0t e t e t e te te+≥+⇒--≥⇒≥ …………8分222211()()ln()(2)()ln()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m mm -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n nn m n n mn m m m mn m m n t t t-=--=-=--=--………10分构造函数11()ln ()2g t t t t =--（其中t e ≥），则222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<． 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减，1()()122e g t g e e≤=-+．故()()f n f m -的最大值是1122e e-+． …………12分21. (本小题满分12分)已知函数x a x a x x g ln )12()(2++-= (1) 当1=a 时, 求函数)(x g 的单调增区间； (2) 求函数)(x g 在区间[]e ,1上的最小值；(3) 在(1)的条件下，设x x x x g x f ln 24)()(2--+=,证明：)2()1(23)(122≥+-->-∑=n n n n n k f k nk .参考数据：6931.02ln ≈．21、(Ⅰ)当1=a 时，x x x x g ln 3)(2+-=，0132)(2>+-='xx x x g1>x 或21<x 。