2014年包九中数学压轴模拟卷一（理科）
（试卷总分150分 考试时间120分钟）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集{2}x M x y ==,集合2
{|lg(2)}N x y x x ==-,则M
N =（ ）
A ．(0,2)
B ．),2(+∞
C ．),0[+∞
D ．),2()0,(+∞⋃-∞ 2． 在复平面内，复数31
1z i i
=
--，则复数z 对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题：
①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ．
其中真命题的序号是( )． A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=
23
3
)(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ）
5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ） A ．2 B ．3 C ．—3 D ．—2
6．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k <
7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下
罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．
据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血
液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ） A ．2160 B ．2880 C ．4320 D ．8640
8．—个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
C ．48
D ． 80
9． 已知函数()f x 在x R ∈上恒有()()f x f x -=，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[0,2)x ∈时，
2()log (1)f x x =+，则(2012)(2013)f f -+的值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．1-
D ．2
10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a)，n ＝(b ，c ＋a)，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为( )
A ．π3
B ．π6
C ．π
2 D ．2π3
11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上
存在二阶导函数，记()()
()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四
个函数在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上不是凸函数的是（ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3
()21f x x x =-+- D ．()x
f x xe -=-
12．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交
于点B ，若2FB FA =，则此双曲线的离心率为（ ）
A B C ．2 D
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．在A B C △
中，3
A π
∠=，3B C =，A
B ，则
C ∠= ． 14．若c b a ,,是直角三角形ABC ∆的三边的长（c 为斜边），则圆4:2
2
=+y x C 被直线0:=++c by ax l 所截得的弦长为 ．
15．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围
是 ．
16． 已知函数,0
()2,0x e x f x x x ⎧=⎨-
<⎩≥，则关于x 的方程()[]0
=+k x f f 给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上）．
三．解答题：本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)
已知等差数列}{n a 的公差不为零，且53=a ，521,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列}{n b 满足n n n a b b b b =++++-1
3221222 ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
18． (本小题满分12分)
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T （单位：年）有关，若T ≤1，则销售利润为0元；若1<T ≤3，则销售利润为100元，若T>3,则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1，1<T ≤3，
T>3这三种情况发生的概率分别为123,,P P P ，又知12,P P 为方程25x 2-15x+a=0的两根,且23P P =．
(Ⅰ)求123,,P P P 的值;
（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列及数学期望． 19． (本小题满分12分)
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，
90=∠ABC ，2AB PB PC BC CD ====，ABCD PBC 平面平面⊥
（Ⅰ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在， 求
PM
PB
的值；若不存在，请说明理由． （Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小； 20．（本小题满分12分）
已知点M 是椭圆C ：22
221x y a b +=(0)a b >>上一点，12,F F 分别为C
的左右焦点，12||F F =，
01260F MF ∠=，12F MF ∆
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设过椭圆右焦点2F 的直线l 和椭圆交于两点,A B ，是否存在直线l ，使得△2OAF 与 △2OBF 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
P
A
B
C D
21． (本小题满分12分)
已知函数)R (ln )(2
∈+=a x ax x f
(Ⅰ)当2=a 时，求)(x f 在区间],[2
e e 上的最大值和最小值；
(Ⅱ)如果函数)(),(),(21x f x f x g 在公共定义域D 上，满足)()()(21x f x g x f <<， 那么就称)(x g 为)(),(21x f x f 的“伴随函数”．已知函数
x a ax x a x f ln )1(2)21()(221-++-=，ax x x f 22
1
)(22+=．若在区间),1(+∞上，
函数)(x f 是)(),(21x f x f 的“伴随函数”，求a 的取值范围．
请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
22.（本小题满分10分）
如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形；
（Ⅰ）求AM 的长； （Ⅱ）求sin ∠ANC ．
23. （本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程是：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 22522
5 为参数）t (． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）将曲线C 横坐标缩短为原来的2
1
，再向左平移1个单位，得到曲线曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值． 24. （本小题满分10分）
已知函数a x x f -=)(．
（I ）当2=a 时，解不等式14)(--≥x x f ； （II ）若1)(≤x f 的解集为{
})0,0(21
1,20>>=+
≤≤n m a n
m x x ，求证：42≥+n m ．。