n=2S2=4n=3S3=8 S4=12…第一讲从“算术”到“代数”【知识要点】代数之前已有算术,算术是解决日常生活中的各种计算问题,即整数与分数的四则运算。
代数与算术不同,主要区别在于代数要引入未知数,根据问题的条件列方程,然后解方程求未知数的值。
这一类数学问题,早在古埃及的数学纸草书(约公元前1800年)中就有了启示,书中将未知数称为“堆,’(一堆东西),并以象形文字表示。
古巴比伦人也知道某些二次方程的解法,在汉穆拉比时代(公元前18世纪)的泥板中,就载有二次方程问题,甚至还有相当于三次方程的问题。
数学史家们曾为此发生过热烈争论:在什么意义下能把巴比伦数学看成代数?(引自百度百科)这一讲主要让同学们熟悉用字母表示数。
【例题精选】例1、下列每个形如四边形的图案,都是由若干个圆点按照一定规律组成的.当每条边上有n(n≥2)个圆点时(包括顶点),图案的圆点数为S n.那么,按此规律,用含有n的式子表示S n为.从图形变化规律来看。
每个图案都可以看成一个大正方形里去掉一个小正方形。
()44222-=--=nnnS。
例2、计算:⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛+++1998131211999121119981211199913121例3、设n是自然数,定义n!=1⨯2⨯3⨯…⨯n,若m=1!+2!+3!+…+2001!+2002!,求m的末两位数字之和。
例4、已知两个三位数defabc,的和defabc+能被37整除。
证明六位数abcdef也能被37整除。
例5、如图,一个面积为50平方厘米的正方形与另一个小正方形并排放在一下起,求ABC ∆的面积。
【A 组题】 1、若的最大值是则,,ab b a 636 321≤≤≤≤( ) A 、21 B 、2 C 、12 D 、126 2、已知a ≠0,12S a =,212S S =,322S S =,…,201020092S S =,则2010S = (用含a 的代数式表示).a s 12=,a s 23=,a s 14=,a s 25=……根据序数奇偶变化分别对应的值来确定结果:as 12010=。
3、将一个正整数n 输入一台机器内会产生出2)1(+n n 的个位数字.若给该机器输入初始数a ,将所产生的第一个数字记为1a ;再输入1a ,将所产生的第二个数字记为2a ;…;依次类推.现输入2=a ,则2010a 是( ) A .2 B .3 C .6 D .1经过计算发现:31=a ,62=a ,13=a ,14=a ……往后每一个数都等于1,出现了重复。
因此12010=a 。
4、给出一个“三角形”的数表如下:此表构成的规则是:第一行是0,1,2,…,999,以后下一行的数是上一行相邻两数的和。
问:第四行的数中能被999整除的数是什么?5、将一张长方形的纸对折,可得到一条折痕,继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折六次后,可以得到几条折痕?如果对折10次呢?对折n 次呢?【B 组题】6、将自然数排成如下的螺旋状:第一个拐弯处的数是2,第二个拐弯处的数是3,第20个及第25个拐弯处的数各是多少?7、在平面上有n 条直线,任何两条都不平行,并且任何三条都不交于同一点,这些直线能把平面分成几部分?8、比较大小:89012345667890123455,89012345677890123456==B A9、(2010贵州)四个电子宠物排座位,一开始,小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上(如图所示),以后它们不停地变换位置,第一次上下两排交换,第二次是在第一次交换后,再左右两列交换位置,第三次上下两排交换,第四次再左右两列交换……这样一直下去,则第2010次交换位置后,小兔子坐在几号位上:A .1B .2C .3D .4本题的原型是“华杯赛”中的一个题,这里作了简化。
问题的关键是抓住“兔子”的位置变化规律。
第一次交换后,兔子在“1”号位;第二次交换后,兔子在“2”号位;第三次交换后,兔子在“4”号位,第四次交换后,兔子在“3”号位……按照1-2-4-3的顺序循环。
而2010被4除余2,故等同于第二次交换后的结果,最后坐在“2”号位。
本题容易出现的错误是:把第一张图认为是第一次交换后的结果。
那么就可能出现寻找规律类题型中最容易出现的错误——结果中的序数和题目中的序数没有对齐。
10、(2010吉林)用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案,即从第二个图案开始,每个图案中正三角形的个数都比一个图案中正三角形的个数多4个.则第n 个图案中正三角形的个数为_________(用含n 的代数式表示).本题可按上题中提出的两种方法来思考。
最后第n 个图案中正三角形的个数为:24+n 。
请大家作一下尝试。
11、(2010云南大理)如图,已知矩形ABCD 的面积为1.A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点,若四边形A 1B 1C 1D 1的面积为S 1,A 2、B 2、C 2、D 2分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1 的中点,四边形A 2B 2C 2D 2的面积记为S 2,…,依此类推,第n 个四边形A n B n C n D n 的面积记为S n ,则S n = 。
由1121⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ,2221⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ,3321⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ,……可得出:nn S ⎪⎭⎫⎝⎛=21n 21=。
12、(2010辽宁)如图所示,观察下列图形 …第1个图形 第2个图形 第3个图形它们是按一定规律构造的,依照此规律,第100个图形中共有 个三角形.同样从图形和数字两个角度都可以解决这个题。
第n 个图形中共有(14-n )个三角形。
第100个图形中共有399个三角形。
13、(2010青海) 将一些小圆点按如图所示的规律摆放,第1个图形中有6个小圆点,第2个图形中有10个小圆点,第3个图形中有16个小圆点,第4个图形中有24个小圆点,……,依次规律,第6个图形有 个小圆点,第n 个图形有 个小圆点.本题也是由两部分构造而成的。
第一部分为四个角落的四个点,这是不变的。
第二部分是中间部分的点。
不难看出第1个图形中间部分有1⨯2个点,第2个图形中间部分有2⨯3个点,……第n 个图形中间部分有n (n+1)个点。
故第6个图形有4+6⨯7=46个点,第n 个图形有4+ n (n+1)=42++n n 个点。
【C 组题】14、(2010河北)将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上,如图6-1.在图6-2中,将骰子向右翻滚90°,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图6-1所示的状态,那么按上述规则连续完成10次变换后,骰子朝上一面的点数是( ) A .6 B .5 C .3 D .2本题结合了对学生空间想象能力的考查。
事实上,由图已经可以得出各个相对面点数的对应关系,题中给出的条件已经降低了对学生的要求。
只需往后面排几次,就可以发现,骰子朝上一面的点数按照5-6-3-5-6-3的规律变化。
三次变换循环一次。
故十次变换等同于一次变换,最后的结果是5.15、*表示一种运算,它的含义是()()A y x xy y x +++=*111,已知3212=*,求20122011*。
图6-1 图6-216、满足不等式541010≤≤A 的整数A 的个数是1104+⨯x ,求x 的值17、假设地球是个标准球体,小明有一根足够长的绳子,长度比地球赤道的周长多100米,用它做成一个圆形绳套,套在地球赤道的外围,假设在各处绳子离地面的距离都是相同的,现在有蚂蚁、兔子、大象和长颈鹿,问那些动物能钻过去?18、观察·归纳·猜想 (1)观察下列算式:21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 127,28 = 256,……利用你发现的规律,写出230的末位数(个数上的数字)是 。
(2)比较下面两列算式结果的大小(在横线上填“>”、“<”或“=”)42 + 32 2 × 4 × 332 + 22 2 × 3 × 222 + 12 2 × 2 × 1 12 + 02 2 × 1 × 0通过观察,写一个反映上述规律的式子: 。
(3)从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下:2 = 2 = 1 × 22 + 4 = 6 = 2 ×3 2 +4 + 6 = 12 = 3 × 4 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 ×5 … 可推测,从2开始,连续10个偶数相加的和是 。
(4)观察下列各式: 12 + 1 = 2 = 1 × 222 + 2 = 6 = 2 × 332 + 3 = 12 = 3 × 442 + 4 = 20 = 4 × 5 … 猜想992 + 99 = 。
(5)比较(3)和(4)两小题,你又可发现规律,请根据你的发现写两个等式: ; 。
19、(1)证明:奇数的平方被8除余1.(2)请你进一步证明:2006不能表示为10个奇数的平方之和.20、试比较n n n S 2164834221+++++=(n 为任意自然数)与2的大小.分析 关键是将n S 写成宜于与2比较的简单的式子(直接的计算几乎不可能).现依次称n S 的各项分别为第1项,第2项,…,第n 项,对第k 项变形.2,222)2221()8544()4423()232(,"",22212)2()1(2211 n n n n n n k k k k S n n n S S k k k k k 自然有这时为正负两项裂中每一项都可以这说明+-=+-+++-+-+-=+-+=+-+=--。