２ ． ２ ． ４动力松弛法 动力松弛法的基本原理是先将结构离散成节点和连接这些节点的杆单元，对个节点施加激振力， 使之围绕其平衡点产生振动，然后逐时，逐步跟踪各个节点的振动过程，直到各节点由于阻尼的影 响最终达到静止的平衡态。 动力松弛法的 递推方程是基于牛顿第二定律建立的，在时刻 ｔ 空间内 任一点 ｉ 在ｘ 方向的 运动可
自６ ０ 年 代 起， 早 期 的 实 验 方 法 逐 步 被 以 计 算 机 技 术 为 手 段 的 新 方 法 所 代 替 。 找 形 的 主 要 内 容 包
主 要 有以 下 儿 种方 法： 基于 最小曲 面 概 念的 力 密 度法 ］ ［ 、 非 线性 有限 元法［ ｌ Ｅ 和动力 松弛 法［ ３ １
４ ； ＝ Ｆ ； ／ Ｌ ； ，
则 （ １ ）变为
艺９ ． ； （ Ｘ ． 一 ｘ ； ） ＝ ｐ
将所有节点按 （ ２ ）式列出平衡方程并写成矩阵形式
（ ２ ）
式（ ３ ） 即为力密度法确定薄膜结构初始形态的基本公式。 该式为一线性方程组， 引入边界条件即 可计 算各自 由节点的坐标值。 使用力密度法计算薄膜结构初始形态时，只要求出离散后结构各杆件的几何拓扑，设定的力密 度值和边界节点坐标，即可建立关于节点坐标的线性方程组， 从而求得节点的真实坐标。力密度法 避免了 初始坐标问 题和非线性收敛问 题，是一种非常有效的计算方法。 ２ ． ２ ． ３非线性有限元法 非线性有限 元法的基本原理是先将膜结构离散为空间 膜单元，并 将其定义为三结点的三角形等参 单 元， 直接运用修正的拉格朗日 列式法来建立膜结构非线性有限元基本方程。 其确定结构初始态的基 本方程为：以ｔ 时刻节点位移增量列向 量Ａ ｕ 为未知量，则得到一个几何非线性的节点平衡方程
２ 已有的方法
２ ． １早期的实验方法 早期的膜结构研究者为了获得薄膜结构的找形规律采用了许多实验的方法。 其一是利用皂膜进 行比 拟。 皂膜两边的表面由张力形成， 由于力的均匀性皂膜具有的主要特征是形成极小的表面面积， 壁面上任一点对任意轴的拉应力都相等。皂膜的模型十分清晰， 量测手段是利用照相技术。 其二是 利用伸缩纤维布或橡胶模型来确定形体， 这种方法可直接利用三维坐标测定形体并辅以照相技术。 这两种方法可以取得曲面的量感和质感， 但是不易反映各种不同 边界条件的限 制，而且由 于是通过 对一个结构模型的量测进行的，所以测定的时间长、造价高，量测手段存在着较大的随机因素。 ２ ． ２最小曲面法 括二 （ 卫 给出复杂结构的初始曲 面（ 初始几何形态） ； ②求出 基于该曲 面的 预应力分布值。 形状确定问 题
式 中 ： ［ Ｄ ］ 为 各 杆 元 力 密 度 组 成的 对 称 矩 阵；｛ Ｘ ） 为 各 节 点 坐 标列 向 量：｛ Ｐ ｝ 为 外 力 列向 量。
Ｉ Ｄ 卜 Ｉ Ｘ ） ＝ ｛ Ｐ ｝ （ ３ ）
Ｕ Ｋ Ｌ ｝ ＋ Ｉ Ｋ Ｎ Ｌ ｝ ｝ ｝加 卜｛ Ｒ 卜伊 ｝ （ ４ ）
摘
关键词：膜结构，找形，形状优化模型
１ 前言
膜结构是一种古老的建筑结构形式， 但从原始游牧民 族的帐篷到 ２ ０ 世纪 ６ ０ 年代现代膜结构产 生为止，这些结构在强度、 稳定性、寿命等方面，均难以达到常规建筑物的要求。近几十年来，由 于薄膜材料性能的提高和建造技术的改进， 使膜结构在世界范围内 空前繁荣， 在我国，也有不少的 膜结构工程项目 正在设计和建造中。 膜结构根据预张力产生的不同形式又可分为张拉膜结构和充气 膜结构。本文主要讨论的是张拉膜结构。 膜结构的设计主要包括体形设计、初始平衡形状分析、荷载分析、裁剪分析等四 大问 题。 通过 体形设计确定建筑平面形状尺寸、三维造型、净空体量，确定各控制点的坐标、结构形式， 选用膜 材和施工方案。 初始平衡形状分析就是所谓的找形分析。由于膜材料本身没有抗压和抗弯刚度，抗 剪强度也很差，因此其刚度和稳定性需要靠膜曲 面的曲 率变化和其中的预张应力来提高， 对膜结构 而言，任何时候不存在无应力状态，因此膜曲 面形状最终必须满足在一定边界条件、一定预应力条 件下的力学平衡，并以此为基准进行荷载分析和裁剪分析。因此，寻求膜结构的初始几何外形，也 就是找形，是分析和设计这类结构的前提和关键。
直接表示为
Ｒ 二 ＝ Ｍ ， ａ 乡 （ ５ ）
在ｔ 十 △ ｔ 时刻节点 ｉ 的速度及坐标由 下列有限差分形式计算
Ｖ ｒ ＋ ａ ｌ ’ 一 ｖ ＇ ， － Ａ ｔ ／ ２ ＋ Ｍ Ａ ｔ ； Ｒ ＇
ｘ ｘ ｕ ｉ Ｘ ＋ ｓ ｒ ２ ／ ＝ ＝ ｘ ｘ＋ ｉ叮 ＋ ａ ／ ２
２ ． ２ ． １最小曲 面 膜结构曲 面是不能实现初期张力与自 重平衡的曲面。 初期张力与自 重相比 不是一个数量级，故 可忽略自 重而寻求平衡状态。该形态作为建筑物， 必须是高稳定的曲面， 在外载作用下不发生很大 变形和应力集中，并使雨水、雪不滞留在其表面上。 膜材是易松弛的 材料，即使松弛在等张力状态 下，形态也变化不小。等张力曲 面中，边界内所围曲面面积极小，也叫极小曲 面。
分析的基础上建立起形状优化模型１ １， ５ 包括：优化变量、目 标函 数、 约束条件。 表示如下：
优 化 变 量 ： ｘ＝ ） ＂ ； ｃ （ （ ， ， ）
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全国结构计算理论与工程应用学术会议论文集
２ ０ ０ ３ ． 同济大学
目标函数：ｍｉ ｎ Ｐ ＝
（ １ ２） （ １ ３ ）
约 束条 件：Ｃ ， ： ５ Ｃ： ５ Ｃ 。
氏 ‘氏 ＿ｖ ＜ ，
ｄ ， ０ ‘ ｄ ， ０
ａ ｍ ‘ ｌ ｍ ｎ ｉ ‘ ｍ ａ
式中： Ｐ 为总造价； Ｋ ， 为膜材每１ １ １ ３ 价格：△ ｉ 为膜单元在初始平衡时的 面积： Ｎ Ｍ 为膜单元总数； Ｃ ； 控制点 的 总 标；“ ， 为 膜单 元的 初始预 应力： ｄ ， ｖ 为 节点 受 荷 后的 位 移；二 点为 膜 单 元 在受 荷 后的
系。
Ａ ｔ ‘ 廿 ２ Ｍｘ ／ 凡
式中Ｓ ； 、 为结点ｉ 在ｘ 方向 上的刚度。式 （ ９ ）也可写成 在计算时，先设定时间增量，然后由式 （ １ ０ ）计算虚拟质量。
（ ９ ）
（ １ ０ ） Ｍ｝ ＿ ＞ Ａ ｔ ｅ １ （ ２ Ｓ ｕ ）
式中 ： ［ Ｋ Ｌ ］ 为 线性 刚 度矩 阵； ［ Ｋ Ｎ Ｌ 伪非 线 性刚 度 矩阵： △ ｛ ｕ ｝ 为 坐 标的 变 化 值： ｛ Ｒ ｝ 为 荷载向 量： ｛ Ｆ ）
为节点等效力向量。 在利用非线性有限元法确定初始态时可先假定节点的坐标，并假定一个结构的较理想的预应力 分布。在这种条件下，节点的平衡条件一般不能成立， 在节点上产生了 不平衡力。在不平衡力的作 用下，结构产生位移。需要再调整节点坐标和单元的预应力值，使之满足平衡条件。不平衡力不会 一次消除，在调整过程中采用逐步迭代法。迭代多次后，节点的不平衡力趋于 ０ ，或通过判断，确 认前后两次的位移的差在一定的误差范围内时，认为结构达到平衡。 目前应用非线性有限元法确定膜结构初始形态的具体计算方法主要有两种：
为ｉ ｉ ， ｋ ｉ ， ｌ ｉ 和ｍ ｉ ， 根据静力平衡条件可得 ｉ 点平一 ‘ ， ）
＝双
（ １ ）
式中： ｎ 为与 ｉ 相邻的各节点， Ｆ ． 。 和Ｌ分别为与ｉ 节点邻接的杆元的内 力和长度， Ｘ ． ． 和Ｘ ， 为节点坐标 列向 量。如定义杆单元中的内力与该单元的长度之比为该杆单元的力密度，即
应力。符号中的上下横线表示变量的上下界。 通过这样的一个标准将使膜结构的找形更加准确。 基于力密度法的Ｅ Ａ Ｓ Ｙ 软件尽管是国际膜结构协会推荐的软件系统， 但是对于有着空间大位移特 征的膜结构找形分析问题，力密度法没有考虑节点变位对节点平衡的影响。因此该方法虽然简单， 然而得到的 初始位形解答误差较大。而动力松弛法考虑了 节点变位对节点平衡的影响， 计算起来要 准确些， 而且它还能弥补了力密度法计算精度偏的不足。 所以， 作者将用 Ｅ Ａ Ｓ Ｙ 软件计算的结果作为 初始状态，用动力松弛法进行再次计算，将能使计算更加准确。最后还要用形状优化准则来判断结 果是否满意，以确保能得到一个好的效果。具体的实施步骤见图２ ０
节点的残余力由下式计算
（６） （７）
Ｒ ｉ ＋ Ａ Ｉ ／ ２ 一 订Ｔ ｌ ｘ 、 一 ｘ ｕ 卜 －｝ Ｌ
Ｉ ＋Ｎ ／ ２
（ ８ ）
动力松弛法的循环求解过程是：（ １ ） 在ｔ ＝ ０时刻设置位移、速度及残余力的 初值为零；（ ２ ）计 算ｔ 时刻的 残余力，并计算时刻ｔ ＋ Ａ ｔ ／ ２ 的 速度 （ 方程 （ ６ ） ） ： （ ３ ）施加边界条件并将速度代入方程 （ ７ ） ， 求解 ｔ ＋ Ａ ｔ 时刻位移：（ ４ ） 返回步骤 （ ２ ） 直到残余力Ｒ 充分小， 此时结构的位置坐标即为 膜 结构初始位移。 在上面的动力平衡方程中有两个基本的参数：时间增量和虚拟质量。这两个参数是迭代计算的 稳定性和收敛性的关键因素，为了减少迭代次数，时间增量应尽可能大，但是，过大的时间增量又 会引 起迭代发散。为了 保证数值计算的稳定性， Ｂ ａ ｎ ｒ ｅ ｓ ［ ４ ］ 给出了时间增量和质量与刚 度比 值之间的关
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全国结构计算理论与工程应用学术会议论文集
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１ 、支座移动法。 该方法要求给定结构初始预张力大小和分布， 并给出结构的 边界控制点 （ 即 支
座）位置，结构从平面状态开始，逐渐抬高或降低各支座节点位置至指定坐标位置。 ２ 、节点平衡法。 该方法是先大致给定结构的 初始几何态，并设定初始预张力的 大小和分布， 在 初始几何态上进行平衡计算， 最终得到结构的平衡状态。
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２ ． ２ ． ２力密度法 力密度法基本原理是将薄膜结构离散成为有节点和杆元构成的索网状模型， 建立每一节点的 静 力平衡方程，通过预先给定索网中各杆元的力与杆长之比 值（ 力密度值） 而将几何非线性问 题转化 为线性问 题，联立求解一组线性方程组得到索网 各节点坐标。 如图 １ 所示，考察索网中任一自 由节点 ｉ ，节点 ｉ 承受一集中力Ｐ ； ，与节点 ｉ 相连接的杆件