第六章 刚体的平面运动本章要点一、刚体平面运动的描述1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ϕϕ=.2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。

其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。

因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。

二、平面运动刚体上点的速度1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即BA A B v v v +=，其中BA v 的大小为ωABv BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。

2投影法速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即AB A AB B v v ][][=3瞬心法任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。

平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。

绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。

面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即ωCM v M =，其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。

若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。

解题要领：1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。

2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。

3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是常用的方法。

4 当用基点法时，要注意基点的速度矢和相对基点的速度矢组成速度平行四边形的两边，对角向才是这一点的速度矢。

速度基点法能且只能解2个未知量，因此，在涉及的3个速度中至少有一个速度的大小和方向都是已知的，在画速度平行四边形时先画这个速度。

5 应用速度投影法时，要注意投影是有正负的，两点的速度必须协调，符合刚体的定义。

6 在找速度瞬心时，作速度矢量时要注意各速度的协调，同一刚体上的两点速度方向可以确定速度瞬心的位置。

三、平面运动刚体上点的加速度平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和，即nt BA BA A B a a a a ++=，进一步，当基点A 和所求点B 都作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度，上式写为nttnntBA BA A A B B a a a a a a +++=+， 其中 BBnBv a ρ2=，AAn Av a ρ2=，2ωAB a n BA =，αAB a tBA =，B A ρρ,分别为B A ,点的曲率半径。

特殊地，当刚体作瞬时平移时，0=nBA a ，有加速度投影定理 AB A AB B ][][a a =. 解题要领1 加速度基点法一般涉及6个加速度矢量，其中3个法向加速度是与速度或角速度有关，这可以通过速度分析求得，而tBA a 的方向与B A ,垂直为已知，剩下5个因素中只可以存在2个未知量。

2 一般选加速度的大小和方向都已知的一点为基点。

3 加速度基点法最多涉及6个矢量，应通过列投影式解代数方程求解。

投影式中等号一边是B 点加速度的投影，另一边是基点A 的加速度和相对于基点加速度投影的代数和，千万不能写成“平衡方程”的形式。

4 加速度投影定理只在刚体作瞬时平移时成立。

5 可以证明刚体作平面运动时也存在加速度瞬心，即加速度为零的点，但这必须在角速度和角加速度皆已知的情况下才能确定，因此无助于解题，所以没有“加速度瞬心法”。

第七章 刚体的平面运动 习题解答6-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度Oω绕O 轴匀速转动，如图所示。

如r AC BC OC ===，并取C 为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。

解：AB 杆作平面运动，设0=t 时，0=ϕ，则t 0ωϕ=。

选AB 杆上的C 点位基点，建立平移坐标系y x C ''-，在图示坐标系中，AB 杆在固定坐标系xy O -的位置由坐标),,(ϑC C y x 确定，所以AB 杆的平面运动方程为：t r x C 0cos ω=，t r y C 0sin ω=，t 0ωϕθ==.6-2 杆AB 的A 端沿水平线以等速v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为R ，如图所示。

如杆与水平线的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。

解： 解法一：杆AB 作平面运动。

选取A 为基点，由速度基点法CA A C v v v +=，作图示几何关系，图中v v A =，解得θθsin sin v v v A CA ==，A B 杆的角速度为 θθωcos sin 2R v AC v CA == （逆时针）. 解法二：在直角三角形△ACO 中，xR=ϑsin ，对时间求导，得 x xR 2cos -=ϑϑ 其中，ϑ,R x v x== ，解得A B 杆的角速度为 Rv ϑϑϑcos sin 2-= ，（负号表示角速度转向与ϑ角增大的方向相反，即逆时针）题6-1图题 6-2图6-3 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮转动，如图所示。

如曲柄OA 以等角加速度α绕O 轴转动，当运动开始时，角速度0=O ω，转角0=ϕ。

求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。

解：动齿轮作平面运动。

建立与曲柄OA 固结的转动坐标系ξη-O ，和在动齿轮的A 点建立平移坐标系y x A ''-，如图所示，从图中可见，因动齿轮和固定齿轮间没有滑动，所以存在关系ϑϕr R =小轮半径AM 相对平移坐标系y x A ''-，也即固定坐标系得转角为)1(r R A +=+=ϕϑϕϕ, 而 221t αϕ=，可得小轮平面运动方程为)21cos()(2t r R x A α+=， )21sin()(2t r R y A α+=. 6-4 图示机构中，已知10.OA =m ，10.BD =m ，10.DE =m ，310.EF =m ；4=OA ωrad/s 。

在图示位置时，曲柄OA 与水平线OB 垂直；且B 、D 和F 在同一铅直线上，又EF DE ⊥。

求EF 的角速度和点F 的速度。

解：如图所示，对各构件进行速度分析. 1）AB 杆作平面运动. 因B A v v // ，所以AB 杆为瞬时平移，得s m OA v v OA A B /4.0=⋅==ω.2）BC 杆作平面运动. 由B C v v ,找得BC 杆的速度瞬心为D 点，所以，BC 杆上的速度分布好像与三角板DEC 一起绕D 作定轴转动一样，得m/s 4.0==⋅=⋅=B B C E v BDvDE DC v DE v ，方向如图示. 3）EF 杆作平面运动. 由F E v v ,找得EF 杆的速度瞬心为EF C ，故有题 6-4图题6-3图r a d /s 333.1==EFEEF EC v ω，（顺时针）； m/s 462.0=⋅=EF EF F FC v ω，（方向向上）。

6-5 图示四连杆机构中，连杆由一块三角板ABD 构成。

已知曲柄的角速度21=A O ωrad/s ，1001=A O mm ，5021=O O mm ，50=AD mm 。

当A O 1mm 铅直时，AB 平行于21O O ，且1O 、A 、D 在同一直线上，角30=ϕ。

求三角板ABD 的角速度和点D 的速度。

解：1AO 杆和2BO 杆作定轴转动，三角板ABD 做平面运动， 由B A v v ,找得三角板ABD 的速度瞬心为ABD C 点，如图所示. 故m /s 2.011=⋅=A O A AO v ω， 三角板ABD 的角速度：rad/s 07.1==AC v ABD A ABD ω，（逆时针）.D 点的速度：rad/s 254.0=⋅=ABD ABD D D C v ω.6-6 图示双曲柄连杆机构中，滑块B 和E 用杆BE 连接，主动曲柄OA 和从动曲柄OD 都绕O 轴转动。

OA 以匀角速度120=ωrad/s 转动。

已知100=OA mm ，120=OD mm ，260=AB mm ，120=BE mm ，3120=DE mm 。

求当曲柄OA 垂直于滑块的导轨方向时，曲柄OD 和连杆DE 的角速度。

解：如图机构中，主动曲柄OA 作定轴转动， m/s 2.1=⋅=ωOA v A ，AB 杆作平面运动，在图示瞬时，由B A v ,v 知，AB 杆作瞬时平移，有 m/s 2.1==A B v v .BE 作平移，B E v v =. 有E D v ,v 找得ED 杆速度瞬心为D 点.在图示位置上可得 OD EB OA AB OE =--=22，题 6-5图题 6-6图由此可知30=∠=∠OED ODE ，ED 杆角速度为 rad/s 77.53310===CEv E DE ω， D 点的速度为m/s 08.236.3==⋅=DE D CD v ω， 曲柄OD 的角速度为rad/s 32.17310===ODv DDO ω， （逆时针）. 6-7 使砂轮高速转动的装置如图所示。

杆21O O 绕1O 轴转动，转速为9004=n r/min ，2O 处用铰链连接一半径为2r 的动齿轮2，杆21O O 转动时，轮2在半径为3r 的固定内齿轮3上滚动，并使半径1121/r r =的轮1绕1O 轴转动。

轮1上装有砂轮，随同轮1高速转动。

求砂轮的转速。

解：如图所示: 设轮1和杆21O O 的角速度分别为1ω和4ω，杆21O O 作定轴转动，故4212)(ωr r v O +=轮1和轮2啮合点M 的速度 22O M v v =，注意2132r r r +=，可得轮1的角速度441211112ωωω=+==r r r r v M ，（顺时针） 轮1的转速为mi n r/108001241==n n ，（顺时针）.6-8 图示瓦特行星传动机构中，平衡杆A O 1绕1O 轴转动，并借连杆AB 带动曲柄OB ；而曲柄OB 活动地装在O 轴上；在O 轴上装有齿轮1，齿轮2的轴安装在连杆AB 的另一端。

已知：330021==r r mm ，mm 7501=A O ，mm 1500=AB ；又平衡杆的角速度61=O ωrad/s 。

求当 60=θ和 90=β时，曲柄OB 和齿轮1的角速度。