j 0
n 1
r p (1 p ) p p t ( px) k e px j!
r
p
1 1 rFra bibliotek1

1 r n n 1 (1 ) j 0
n
FS ( x) 1
n 1
ES VarS 8 3.4 8 0.44 3.4 2 24 308.16
§3.3.2 S分布的精确求法
（一）、直接收集信息，建模拟合S的分布 （二）、分开研究个体理赔额X和理赔次数N 的分布，再研究S的分布。 1、该方法的优点 2、常见三种方法：卷积法、矩母函数法、拟 合法
EN r ( 1)
1
r
VarN r ( 1) 2
EN 8
1
r ( 1)
2,VarN 24 r 4
EX 0.2 1.2 2 3.4
VarX 0.4 3.6 8 3.4 2 0.44
t
p( t ) p pt p 2 p 2 p t p t p p (1 p) p t Fs ( x) p (1 p )(1 e px ) S是混合两点分布 x 0 P( S 0) p x0 Fs ( x) 1 1 1 p 1 1 , 1
y 0 y 0
x
x
F *( n1) ( x y)dF( y)
0
x
f s ( x) f
n o

*n
( x) p n
f ( x) f *( n1) ( x y) f ( y)
*n y 0
x
例3.7

假设有一组保单组合，在单位时间内可能发 生的理赔次数为0，1，2和3，相应的概率为 0.1，0.3，0.4，0.2，每一张保单可能发生的 理赔额为1，2，3，相应的概率为0.5，0.4， 0.1，试计算理赔总量S的概率分布。
C rn 1
n 1 n m n
mn

k 0
n 1
x e ) k!
k
x
二、矩母函数法

母函数
Ps(t ) PN ( PX (t ))
Ms (t ) Ee ts E ( Ee ts N ) E ( Ee tX ) n PN ( M X (t ))

矩母函数

例3.7
f*0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0.5 0.4 0.1 0.5 0.4 0.1 0.25 0.4 0.26 0.08 0.01 f*1 f*1 f*2 f*3 fs 0.1 0.15 0.22 0.215 0.164 0.095 0.0408 0.0126 0.0024 0.0002 Fs 0.1 0.25 0.47 0.685 0.849 0.944 0.9848 0.9974 0.9998 1
its its itX N ( t ) Ee E ( Ee N ) E ( E ) PN ( X (t )) 特征函数 s
M t ) 3.9 PN ( M X (t )) s ( 例 1 q p
N ~ Ge( p ), PN (t )
p , X ~ E ( ), M X (t ) 1 qt t

一、卷积法
Fs( x) P( s x) P( X 1 X N X ) P(X 1 X n X ) P( N n) F *n ( x) pn
n 0 n 0
F *n ( x) P( X 1 X n1 x y) P( X n y) F *( n1) ( x y) f X ( y)
*n
1

理赔次数N ~ b(m, q ) FS ( x) F *n ( x) p n
n 0 n 1
q表示理赔概率 p n P ( N n) x e ) k!
k x
p 0 p n (1
n 1 k 0
1 C q (1 q )
N
0.1
0.3
0.4
0.125 0.3 0.315 0.184 0.063 0.012 0.001 0.2
例3.8

设个体理赔额分布X服从指数分布上，均值为 Θ ，理赔次数N服从二项分布，求S的分布。

例3.8
X ~ Gam m a (1, )
1

X 1 X 2 ... X n ~ F ( x) ~ Gam m a ( n, )
r
例 3.6
1 ，已知参数
k
3 4 2 2,VarN 24，个体理赔额 X ~ 0.1 0.4 0.5 ，求总理赔额 S 的均值与方差之和。
解： ES ENEX
VarS ENVarX ( EX ) 2 VarN
前言

模型 S X 1 X N
N保单组合中的理赔次数 Xi第i次理赔的理赔额 X , N 相互独立 X 同分布

i
i
§3.3.1 S的数字特征（期望，方差）

期望
ES ENEX
VarS ENVarX ( EX ) 2 VarN

方差

例3.6
1 k 设理赔次数 N 服从负二项分布： P( N k ) C k r 1 1
1
( e

x (1 )
)

例3.10
N ~ Nb(r , p ) X ~ E ( ) p M s (t ) PN ( M X ( x)) 1 q t FS ( x) 1 C q (1 q )
n 1 n r n r r n