2019-2020北京市西城区高一上学期期末考试数学试卷及答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣2，0}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）方程组的解集是（）A．{（1，﹣1），（﹣1，1）}B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．{（2，﹣2），（﹣2，2）}D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}3．（5分）函数y＝的定义域是（）A．[0，1）B．（1，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x+1B．y＝x2﹣1C．y＝2x D．5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc7．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（）A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）x mgC．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2x mg9．（5分）如图，向量﹣等于（）A．3﹣B．﹣3C．﹣3+D．﹣+310．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝．12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝．13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b满足，则f（a）﹣f（b）＝．14．（4分）函数的零点个数是；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是．15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．①集合∁R A＝；②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是．16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．18．（12分）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）20．（13分）已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-10.CADDA BDBBC二、填空题11．14．12．．13．2．14．2；（﹣1，0）∪（2，+∞）．15．{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．16．①③．三、解答题17．解：（Ⅰ）这5人中男生人数为，女生人数为．（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，则样本空间为：Ω＝{（B1，B2），（B1，B3），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（G1，G2）}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A＝{（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2）}，事件A共包含6个样本点．从而．所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．18．解：（Ⅰ）因为，又函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，所以f（2）＝log34＞log33＝1．（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，所以．因为函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，所以0＜8﹣2x＜3，即5＜2x＜8，所以x的取值范围是（log25，3）．（Ⅲ）因为f（x）有意义当且仅当8﹣2x＞0，解得x＜3．所以f（x）的定义域为D1＝（﹣∞，3）．g（x）有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g（x）的定义域为D2＝[3，+∞）．因为D1∩D2＝∅，所以曲线C1和C2没有交点．19．解：（Ⅰ）由图可得0.01+a+0.19+0.29+0.45＝1，所以a＝0.06．（Ⅱ）设事件A为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”．则事件A包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10，所以P（A）＝0.45+0.29+0.01＝0.75．设事件A i为“队员甲第i次射击，中靶环数大于7”，其中i＝1，2，则P（A1）＝P（A2）＝0.75．设事件B为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”．则，A1，A2独立．所以＝＝．所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为．（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定．20．解：（Ⅰ）证明：根据题意，，则f（x）的定义域为D＝{x|x∈R，且x≠±1}；对于任意x∈D，因为，所以f（x）为偶函数．（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，那么＝；因为1＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）是（1，+∞）上的减函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，又由f（﹣4）＝，f（﹣2）＝1，则有≤f（x）≤1；所以当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的值域是．21．解：（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），依题意得．（Ⅱ）当0＜x＜6时，．所以＝＝6．当且仅当，即x＝5时取等号，所以，当0＜x＜6时，Y有最大值6（万元）．当x≥6时，Y＝11﹣x≤5．综上，当x＝5时，Y取得最大值6（万元）．因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．22．解：（Ⅰ）因为P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），所以f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），所以f（P）∪f（M）＝[0，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，所以当x＜0时，f（x）＜0，所以（﹣∞，0）⊆P．同理可证（0，+∞）⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}．（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f（P），且0∉f（M），即0∉f（P）∪f（M），这与f（P）∪f（M）＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f（P），且﹣x0∉f（M）．因为f（P）∪f（M）＝R，所以﹣x0∈f（P），且x0∈f（M）．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．。