第二节圆的方程高考试题考点一求圆的方程1.(2009年辽宁卷,理4)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )(A)(x+1)2+(y-1)2=2(B)(x-1)2+(y+1)2=2(C)(x-1)2+(y-1)2=2(D)(x+1)2+(y+1)2=2解析:由题意可设圆心坐标为(a,-a),解得a=1,故圆心坐标为(1,-1),半径所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:B2.(2010年广东卷,理12)已知圆心在x轴上,y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是. 解析:设圆心坐标为(a,0),且a<0,由题意得∴a=-2.∴圆的方程为(x+2)2+y2=2.答案:(x+2)2+y2=23.(2010年新课标全国卷,理15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆的方程为.解析:由题意知A、B两点在圆上,∴直线AB的垂直平分线x=3过圆心.又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1),∴k BC=-1.∴直线BC的方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.y=-x+3与x=3联立得圆心C的坐标为(3,0),∴∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2考点二直线与圆的位置关系的判定与应用1.(2013年天津卷,理4)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆x2+y2=12相切.其中真命题的序号为( )(A)①②③ (B)①② (C)①③ (D)②③解析:由球的体积比等于半径比的立方,①为真命题;平均数相等,但标准差不一定相等,②为假命题;由(0,0)到x+y+1=0距离,即直线与圆相切,③为真命题.故选C. 答案:C2.(2012年陕西卷,理4)已知圆C:x 2+y 2-4x=0,l 是过点P(3,0)的直线,则( ) (A)l 与C 相交 (B)l 与C 相切 (C)l 与C 相离(D)以上三个选项均有可能 解析:将点P 的坐标代入圆的方程, 得32-4³3=-3<0,∴点P(3,0)在圆内. ∴过点P 的直线l 定与圆相交. 答案:A3.(2012年重庆卷,理3)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是( )(A)相离(B)相切(C)相交但直线不过圆心 (D)相交且直线过圆心 解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),而02+12<2, ∴定点(0,1)在圆x 2+y 2=2内,故直线y=kx+1一定与圆相交. 又圆心(0,0)不满足方程y=kx+1, ∴直线与圆相交但不过圆心. 答案:C4.(2013年山东卷,理9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A 、B,则直线AB 的方程为( )(A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0(C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0解析:由图知切点A(1,1),圆心坐标C(1,0), 所以k CM =1031--=12. 易证CM ⊥AB,所以k AB =-2.故选A. 答案:A5.(2012年天津卷,理8)设m,n ∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n 的取值范围是( )(B)(-∞∪∞)(D)(-∞∪∞)解析:圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0=1,所以m+n+1=mn ≤14(m+n)2,所以m+n ≥m+n ≤ 答案:D6.(2011年重庆卷,理8)在圆x 2+y 2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( )解析:圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦最短弦BD恰以E(0,1)为中点,设点F为其圆心,坐标为(1,3).故,∴∴S四边形ABCD=12AC²答案:B7.(2013年江西卷,理9)过点引直线l与曲线A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )(C)解析:画出直线l与曲线的示意图(如图),设直线l的斜率为k,则直线l的方程为△OAB的高也即原点到直线l的距离,求得则S△OAB≤2222(1)21k kk+-+=12²2211kk++=12,,即k=时,S△OAB面积最大,由题意知k<0,故答案:B8.(2010年江苏卷,9)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.解析:由题意可知,当圆上有四个点到直线的距离为1时,圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵=13 c,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).答案:(-13,13)9.(2013年江苏卷,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3.由题意,=1,解得k=0或k=-3 4 ,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1 3.整理,得-8≤5a2-12a≤0.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤12 5.所以点C的横坐标a的取值范围为[0,125].考点三圆与圆的位置关系的判定与应用1.(2013年重庆卷,理7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )解析:如图所示,点C1关于x轴的对称点C′1(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C′1C2|所以(|PM|+|PN|)min故选A.答案:A2.(2012年江苏卷,12)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,≤2.整理,得3k2-4k≤0,解得0≤k≤4 3 .故k的最大值为4 3 .答案:4 33.(2009年四川卷,理14)若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是.解析:由题意知OA⊥O1A,在Rt△OO1A中1∴|OO1|=5,∴由|OO1|²12|AB|=|OA|²|O1A|,得|AB|=2=4.答案:44.(2009年天津卷,理14)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为则a= .解析:x 2+y 2+2ay=6,x 2+y 2=4,两式相减得y=1a. 联立221,4,y ax y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩消去y 得x 2=2241a a -(a>0),∴解得a=1. 答案:1模拟试题考点一 求圆的方程1.(2012北京顺义三模)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C 的方程为( ) (A)(x2+y 2=43 (B)(x2+y 2=13 (C)x 2+(y2=43 (D)x 2+(y2=13解析:∵圆C 关于y 轴对称, ∴圆心在y 轴上,因为圆被x 轴分成两段弧长之比为1∶2, 故被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3, 设圆心(0,a),半径为r, 则rsinπ3=1,rcos π3=|a|, 解得即a=所以圆的方程为x 2+(y2=43. 答案:C2.(2013山东临沂高三期末)与直线x=3相切,且与圆(x+1)2+(y+1)2=1相内切的半径最小的圆的方程是( ) (A)(x-12)2+(y+1)2=254(B)(x-12)2+(y-1)2=254(C)(x-12)2+(y-1)2=52(D)(x-12)2+(y+1)2=52解析:设圆心(a,b),由题意可知a<3,∵圆与直线x=3相切,∴圆的半径为3-a,又圆与(x+1)2+(y+1)2=1相内切,即(a+1)2+(b+1)2=(2-a)2,整理得a=13-16b2-13b.半径r=3-a=3-13+16b2+13b=16b2+13b+83.∴当b=-13126⨯=-1时,半径r取到最小值52,此时a=1 2 .即圆心坐标为(12,-1),半径是52,圆的方程为(x-12)2+(y+1)2=254.答案:A考点二直线与圆的位置关系的判定及应用1.(2013山东德州高三联考)已知点P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是( )解析:由平面几何知识可知,S四边形PACB=|CA|²|PA|,又圆的圆心C为(1,1),半径r=1,设P(x,y),则3x-4y+11=0,又∴当|PC|最小时,|PA|最小,S四边形PACB最小,而|PC|的最小值为C(1,1)到直线3x-4y+11=0的距离,即|PC|min∴|PA|min∴S四边形PACB.答案:C2.(2013江苏南通高三第一次调研)已知直线y=ax+3与圆C:x2+y2+2x-8=0相交于A、B两点,点P(x0,y0)在直线y=2x上,且PA=PB,则x0的取值范围是.解析:圆C:x2+y2+2x-8=0的圆心C的坐标为(-1,0),半径r=3.∵直线与圆相交,<3,整理得4a 2+3a>0, 解得a>0或a<-34. ∵PA=PB,∴PC 与直线y=ax+3垂直, ∴0021x x +=-1a, 整理得x 0=-121a +, 由a>0或a<-34得-1<x 0<0或0<x 0<2. 答案:(-1,0)∪(0,2)考点三 圆与圆的位置关系的判定与应用1.(2012银川一模)若圆C 1:x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R)与圆C 2:x 2+y 2-2by-1+b 2=0(b ∈R)外切,则a+b 的最大值为( )(C)3解析:圆C 1的圆心坐标(-a,0),半径是2; 圆C 2的圆心坐标是(0,b),半径是1.=3, 即a 2+b 2=9.∴(a+b)2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)=18,当且仅当a=b=时取等号. ∴a+b 的最大值为答案:D2.(2011苏州调研)已知圆x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x-8y-11=0相交,则实数m 的取值范围是 .解析:圆x 2+y 2=m 的圆心(0,0),圆x 2+y 2+6x-8y-11=0的圆心(-3,4),半径r=6,由题意得解得1<m<121. 答案:(1,121)综合检测1.(2013合肥三模)若函数y=x 2-m nx+1n 的图象在点M(0,1n )处的切线l 与圆C:x 2+y 2=1相交,则点P(m,n)与圆C 的位置关系是( ) (A)P 在圆内 (B)P 在圆内或圆外 (C)P 在圆上 (D)P 在圆外解析:y ′=2x-mn , ∴k 切线=y ′|x=0=-m n.切线方程为y-1n=-mn(x-0),即mx+ny-1=0.∵l与圆相交,即m2+n2>1.∴点P(m,n)在圆外.答案:D2.(2013广东广州高中毕业班综合测试)直线截圆(x-2)2+y2=4所得劣弧所对的圆心角是( )(A)π6(B)π3(C)π2(D)2π3解析:圆心(2,0)到直线的距离d=22=1,∴弦长∴劣弧所对圆心角为120°.答案:D3.(2012广东广州二模)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).若过点M有且只有一条直线与圆O相切,则切线方程为. 解析:∵过点M有且只有一条直线与圆O相切,∴M(1,a)在圆x2+y2=4上,即1+a2=4,解得a=.当∴k OM∴k切线切线方程为即当时OM∴k切线切线方程为即答案y-4=0或。