路面不平度的数值模拟研究[摘要] 在汽车设计开发过程中，常需要预测、研究汽车零部件在时域内振动响应，于是在系统参数已知的情况下，需要即需有公路路面的随机不平度数据。

本文研究了一种公路路面不平度的数值模拟新方法，即直接对已知路面不平度的功率谱密度经过一系列处理获得路面的不平度值，研究表明所得路面不平度数据的功率谱密度与所要求的准确一致，并且这种方法简洁实用、便于操作。

关键词：功率谱密度；路面不平度；傅立叶变换；采样1、引言汽车以一定的速度行驶时,路面的随机不平度通过轮胎、悬架等传递到车身上,并通过座椅将振动传递到人体。

当把汽车近似为线性系统处理时，得到了路面不平度功率谱以及车辆系统的频响函数，就可以求出各响应物理量的功率谱，从而可分析车辆振动系统参数对各响应物理量的影响和评价平顺性。

然而,汽车振动系统中包括许多非线性元件,如轮胎(有可能离地)、渐变刚度悬架、液力减振器、橡胶减振块及悬架的干摩擦阻尼等。

为获得更准确的结果,特别是在进行振动幅度较大的汽车可靠性等研究时,需采用非线性振动模型[1]。

对于非线性系统,线性系统中熟知的叠加原理不再成立,不能直接采用频域方法进行研究，只能在时域中进行研究。

另外，最近主动、半主动控制悬架的研究已经了人们充分重视，控制系统的反馈信号是时域信号，所以在进行控制策略研究时，也只能在时域中进行。

对于这两类问题，所需的路面激励是时域或空间域信号，而非频域信号。

获得路面随机不平度的方法有两种，一种是试验测试，一种是将路面不平度的功率谱密度变换为空间域激励函数，近年来受到了广泛重视[1-4]。

1984年国际标准化组织在文件ISO/TC108/SC2N67中提出了路面不平度的功率谱密度表达式模型和分等方法。

1986年,中国学者在进行了大量研究的基础上,也提出了类似的表达式和分等方法,制订了相应的国家标准,即GB7031-86《车辆振动输入—路面平度表示方法》。

对于路面不平度空间域(或时域)内的问题,各国学者进行了大量研究,早期的研究方法有谐波叠加法(或称三角级数合成法),该方法的基本思想是将路面不平度表示成大量具有随机相位的正弦或余弦之和。

三角级数合成模型适用于模拟具有任意形状的谱密度的平稳随机过程,而且所得结果的样本是连续的,但该模型涉及大量三角函数运算[2],计算效率低。

除了谐波叠加法外，还有积分单位白噪声、滤波器整形白噪声的方法[5]以及利用ARMA 模型的方法[2]等。

文献[6]利用功率谱密度的逆变换对铁路轨道的随机过程进行了研究。

在此文献的基础上，本文对利用GB7031-86建议的公路路面功率谱密度的拟和表达式进行研究，获得分布所需频率范围内的离散功率谱密度数据，通过计算、分析获得路面不平度的离散傅立叶变换，进而通过傅立叶逆变换得到路面不平度值。

通过上述整个过程以及算例进行研究，可知这种方法概念清楚、简单易行，并且利用这种方法得到的路面不平度的功率谱密度可以达到与所需的功率谱密度准确一致。

2 由时域信号得到功率谱密度函数只有了解了如何由时域信号得到其功率谱密度的过程，才能正确地根据所要求的功率谱密度得到时域信号，对于象路面不平度这样的空间域数据也是如此。

设)),()((+∞-∞∈t t x 是一个各态历经的平稳随机过程，显然它不能满足绝对可积条件：∞<⎰∞∞-dt t x )(，所以)(t x 不存在傅立叶变换，为此引入一个辅助函数[7]（截尾函数）)(t x T ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=t T T t T t x t x T 2022)()( （1）显然)(t x T 满足绝对可积条件，存在傅立叶变换，即 df e f X t x dt e t x f X ft j T ft j T T ππ22)()()()(⎰⎰+∞∞--+∞∞-==，（2）由于)(t x T 是各态历经的平稳随机过程，于是其均方值为⎰⎰∞+∞-+-==dt t x Tdt t x Tt x T T T T T)(1)(1)(22222根据（2）式，上式可进一步表达为⎰⎰∞+∞-∞+∞-=dt df e f X t x Tt x ftj T T T π22)()(1)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=dtdf e t x f X T ft j T T π2)()(1 ⎰+∞∞-=df f X f X T T T )()(1*⎰∞+∞-=df f X T T 2)(1 （3） （3）式中，)(*f X T 是)(f X T 的共轭复数。

当+∞→T 时，)()(t x t x T →，)()(22t x t x T →，所以⎰∞+∞-+∞→+∞→===df f X Tt x t x T T T T x 2222)(1lim)(lim )(ψ （4） 由于自相关函数与功率谱密度函数构成傅立叶变换对，根据均方值2x ψ与自相关函数)(τx R 之间的关系，可得df f S R x x x )()0(2⎰+∞∞-==ψ （5） 比较以上两式 [8]，得到2222222)(1lim)(1lim )(1lim)(dt e t x Tdt e t x Tf X T f S ft j T T T T ft j T T T T x ππ-+-+∞→-∞+∞-+∞→+∞→⎰⎰===上式的定义域为),(+∞-∞∈f 。

只在)2,2(T T t +-∈有非零值，若现在将)(t x T 的0=t 点左移2T构成函数)(t x T'，则有)2()(Tt x t x T T-='，即 实际上dt e T t x dt e t x ft j T T ftj TT ππ2020)2()(---='⎰⎰取2Tt t -='，则fT j t f j TT T ft j TT e dt e t x dt e Tt x πππ222220)()2(-'---'=-⎰⎰可见2222220)()(dt e t x dt e t x ft j TT T ft j TTππ-+--⎰⎰='所以220)(1lim)(dt e t x Tf S ftj TTT x π-+∞→⎰'=显然若)(t x T 仅在[0，T]上取得非零值，则有220)(1lim)(dt et x Tf S ftj TT T x π-+∞→⎰= +∞<<∞-f以上定义、分析的功率谱密度为双边谱密度，即对f 的正负值均有定义。

在工程实际中，由于0<f 无意义，所以常根据)(f S x 的偶函数性质，把负频率范围的谱密度折算到正频率范围内，从而得到单边谱密度)(f G x ，即⎩⎨⎧≤≥=000)(2)(f f f S f G x x 所以只需求解0≥f 的情况，便可得到单边谱密度)(f G x ，于是220)(2lim)(2)(dt et x Tf S f G ftj TT T x x π-∞→⎰== （0≥f ）实际中，T 总是有限的，)(f G x 可表示为220)(2)(dt et x Tf G ftj TT x π-⎰=（6）若实际中对)(t x T 采样的时间间隔、采样点数和总采样时间分别为)(N t T T N t ⨯∆=∆、、，则其离散傅立叶变换的相临两点的频率差，即频率分辨率[9]为tN T f ∆==∆11，则（6）式相应的离散形式为 210122102)(2)(2)(tet n x tN tet n x tN f G N n tn tN k j N n tn f j k x k ∆∆∆=∆∆∆=∑∑-=∆∆--=∆-ππ2102)(2t et n x tN N n Nkn j ∆∆∆=∑-=-π进一步可简写为221222)()(k N n Nkn j n x k x X Nt ex Nt k G f G ∆=∆==∑-=-π （7） 其中 ∑-=-=102N n Nkn j nk ex X π是)1,1,0(-=N n x n 的离散傅立叶变换。

以上建立了离散的时间信号与离散形式的功率谱密度之间的关系，按照（7）式便可得到功率谱密度)(k x f G 。

但是若采样的时间间隔t ∆选取的不合理将产生频率混叠效应[9]，采样总时间)(N t T T ⨯∆=不合理将影响频率分辨率，从而产生较大误差。

若)(k x f G 需要的最小频率和最大频率分别为u l f f 、，根据采样定理（Shannon Theorem ）可知，若)(k x f G 及k X 不发生频率混叠，应该有 uf t 21≤∆ （8） 另外，频率间隔，即频率分辨率为 tN T f ∆==∆11 （9） 最小频率l f 应满足f f l ∆≥（10）由（8）、（9）、（10）式可知总采样时间和采样点数)(N t T T ⨯∆=、N 应满足l f T 1≥ltf N ∆≥1并且还需要f N T N t f u ∆==∆≤2221 对具有N 个数据的离散的时域信号)1,1,0(-=N n x n 而言，其离散傅立叶变换也是N个数据，相临两个数据对应的频率差为f ∆，k X 或)(k G x 的第12+N 个点（2Nk =）对应的频率为f N ∆2，而不发生频率混叠时)(k G x 的最大频率为f Nf u ∆=2，可见)(k G x 的k 取值应为：k =0，1，2，……，2N。

以上讨论了如何由离散的时域信号n x 得到其功率谱密度)(k G x 的过程，若)1,1,0(-=N n x n 不是时域信号而是路面不平度值，其功率谱密度的求解方法与上述完全相同，只不过是上述的时间T 对应距离L ，采样时间间隔t ∆对应采样的距离间隔l ∆，时间频率f 应对应空间频率n 。

3 由路面不平度的功率谱密度得到路面不平度大量的试验测量表明，路面的不平度是具有零均值的、各态历经的平稳Gauss随机过程[2、5]。

并且，通常用功率谱密度来描述路面的统计特性，路面的不平度的垂直位移功率谱密度可用下式来拟合[10]Wd d n n n G n G -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00)()( 0>n （11）式中：n ─空间频率,它是波长λ的倒数,表示每米长度中包含波的周期数,单位为1-m0n ─参考空间频率, 0n =0.11-m)(0n G d ─参考空间频率0n 下的路面功率谱密度,称为路面不平度系数,数据取决于公路的路面等级，单位为12/-m mW ─频率指数,为双对数坐标上斜线的频率,决定路面功率谱密度的频率结构，取W =2。

由于汽车隔振系统的作用，使得汽车对某些频率路面激励的位移或加速度响应极小，所以在进行路面不平度计算时，不是所有频率的激励都是需要的。

因此，对空间频率进行截取，设需要的频率成分（或称有效频率）的上、下限分别为l n 、u n ，则有[3]⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-其他0)()(00ul Wd d n n n n n n G n G （12） 有效频率上下限l n 和u n 的选取要保证使汽车以常用速度行使时由不平度引起的振动包括汽车系统振动的主要固有频率。