s(t ) f (t ) σ * e(t )
t 0,1,, n _ 1
σ 其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， 为噪声标准偏差。
有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平 稳。而噪声信号通常表现为高频分解后，含噪 部分主要集中在高频小波系数中，幵且，包含 有用信号的小波系数幅值较大，但数目少；而 噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。 基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系 数进行处理。（即对较小的小波系数置为０， 较大的保留或削弱），然后对信号重构即可达 到消噪的目的。
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图 （a） 信号分解； (b) 小波分树； （c）小波分解树
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1.6 离散小波变换（DWT）
在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时， 得到的数据将是原始数据的两倍。
根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样的方 法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的 离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示
(1) 固定阈值(’sqtwolog’)
选取的算法是：
(2) Stein无偏似然估计阈值(’rigrsure’) 对于给定一个阈值t，得到它的似然估计，再将非似然 的t最小化，就得到了所选的阈值。 (3) 启发式阈值(‘heursure’) 它是前两种阈值的综合，是最优预测变量阈值选择，如 果信噪比很小时，无偏似然估计的误差较大，此时，采 用固定阈值。令：
采用这种阈值方法去噪在实际应用中，已取得了较好 的效果，但也存在着一些潜在的缺点，如硬阈值在阈 值点不连续，重构可能产生一些震荡；软阈值连续， 但估计的小波系数和分解的小波系数有恒定的偏差， 直接影响重构信号对真实信号的逼近程度．
２．阈值的选取 阈值的选择是小波去噪和收缩最关键的一步，在去 噪过程中阈值起着决定性的作用：如果太小，施加阈值 后小波系数包含太多的噪声分量，达不到去噪效果；反 之，则去除了有用部分，使信号失真。 阈值选择方案及对应的MATLAB命令
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1.7 小波重构
将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要 根据需要把信号恢复出来，也就是利用信号的小波分 解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构 （ Wavelet Reconstruction ） 或 叫 做 小 波 合 成 （Wavelet Synthesis）。 这一合成过程的数学运算叫做逆离散小波变换
小波的缩放操作
t
f (t)＝ (4t)；scale＝0 .2 5
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基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
(2) 平移。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延
迟k的表达式为f(t-k)，
(a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
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小波变换的步骤:
一 取一个小波与信号的最前面部分比较; 二 计算相关因子C,C代表小波和这段数据的 相关性 即:C越大,两者越相似;
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三 移动小波,重复步骤一和二,一直遍历整个数据;
四 对小波进行缩放,重复步骤一到三;
五 在所有小波尺度下,重复上述步骤.
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小波尺度和信号频率的关系
大尺度
小尺度
信号的低频
信号的高频
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1.6 离散小波变换（DWT）
在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系
数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有 许多数据是无用的。 如果缩放因子和平移参数都选择为 2j（j>0且为
典型的地震记录
3
实际采集的地震信号
它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息
4
如何完成只分析数据中的一小部分?
5
基本思想：
给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信 号进行变换，因此反映了信号的局部特征。
6
缺陷：
其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关， 保持固定不变，对于分析时变信号不利。
整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数
来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。
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1.6 离散小波变换（DWT）
使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为 双尺度小波变换（ Dyadic Wavelet Transform ），它
是 离 散 小 波 变 换 （ Discrete Wavelet Transform ，
心电信号的噪声特点 小波分析与传统信号处理方法的比较 小波去噪的基本原理
小波去噪的基本步骤 小波去噪中的阈值函数和阈值的选取 小波去噪中小波函数的选择 去噪效果的评价 程序说明 总结
一、心电信号的噪声特点
心电信号（ECG）是典型的强噪声的非平稳的随 机信号。正常心电信号的频率范围在0.01Hz100Hz之间，而90%的ECG频谱能量又集中在 0.25Hz-35Hz之间。 在心电信号的采集和A/D转换过程中,心电信号 不可避免地受到各种类型的噪声干扰,概括起来主 要包括以下三类噪声:
汇报人：*** 指导老师：*** 汇报日期：2014.4.21
傅立叶变换
基本思想：
将信号分解成一系列不同频率的连续正 弦波的叠加。
缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果
判断一个特定的信号是在什么时候发生的。
2
FT变换适于分析平稳信号。实际中大多数信号含
有大量的非平稳信号，例如：突变，奇异，事件 的起始与终止等情况。这些情况反映了信号的重 要特征，是分析的对象。例如下图：典型的地震 信号。
进行比较，如果 无偏似然估计。
时采用固定阈值，反之，选择
(4) 极大极小阈值(‘minimaxi’) 它的原理是令估计的最大风险最小化，其阈值选取的 算法是：

（1）“小”，即在时域都具有紧支集或近似紧支集 （2）正负交替的“波动性”，也即直流分量为零
11
12
傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷 到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。 FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波 分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这些小 波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来 的。 用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光 滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数 来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。
(2) 小波分解的高频系数的阈值量化。对第一层到第N层 高频系数，选择软阈值或硬阈值量化处理。
(３) 一维小波重构。根据小波分解的第N层低频系数和 第一层到第N层的高频系数，进行一维重构。 在上面的步骤中，最为关键的就是如何选取阈值和 如何阈值量化，从某种意义上讲，它直接影响信号去噪 的质量。
１．阈值函数 阈值函数分为软阈值和硬阈值两种。
一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号 的近似值A（Approximations） 另一个为高通滤波器， 通过该滤波器可得到信号的细 节值D（Detail）。
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1.6 离散小波变换（DWT）
实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只 起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样， 把高频分量去掉 后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但 如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。

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1.4 连续小波变换
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，
CWT）用下式表示：
C(scale, position)

f (t ) (scale, position, t)dt
表示小波变换是信号 f(x) 与被缩放和平移的小波函数
ψ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。
ECG signal 100.dat 1 0.8 0.6 0.4
Voltage / mV
0.2 0 28 1 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 1 1 1 1 1 1 8
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Time / s
3
3.5
44.55来自在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性， 非平稳,并且奇异点较多的特点。含噪的一维信号模型 可表示为：
三、小波分解示意图：
s CA1 CA2 CA3 CD3 CD2 CD1
小波分解的 结构示意图
小波分解系 数示意图
1.小波变换去噪的流程示意图：
含噪 信号 小波变 换多尺 度分解 各尺度 小波系 数除噪 小波逆 变换重 构信号 除噪后 的信号
预处理
２．小波除噪的具体步骤：
(1) 对含噪信号进行预处理,并进行小波分解。选择小 波确定分解的层数N,然后对信号s进行N层分解。
DWT）的一种形式。 通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。
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1.6 离散小波变换（DWT）
执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器， 该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法(马
拉 ) 。这种方法实际上是一种信号分解的方法， 在数
字信号处理中常称为双通道子带编码。
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1.6 离散小波变换（DWT）
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1.7 小波重构
(2)多层重构 重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则原信 号可用A1＋D1＝S重构出来。对应于信号的多层小波分 解，小波的多层重构图:
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1.7 小波重构
S A1 A2 A3 D3 D2 D1
重构过程为：A3＋D3＝A2；A2＋D2＝A1； A1+D1＝S。
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（高频信号持续时间短，低频长。我们希望对于高频采用小的时 间窗，低频使用大时间窗进行分析。）
STFT无能为力了！ 不能构成正交基，给数值计算带来不便。
7
登场原因：
（1）继承和发展了STFT的局部化思想。
（2）克服了窗口大小不随频率变化、缺乏