微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三 1．解：(1) 2
00000
()12()
lim
lim
lim
.2t t t t s t t t t t v v g v gt t
t t
∆→∆→∆→∆∆∆+∆==-=-∆∆∆
(2)由 00t v v gt =-=有0;v t g =
(3)由0t v v gt =-有01(2).2
T v g t v ==。

3．求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。

解：由y '=1-2x 可知当x =1时，y '=-1。

5．解：(1) 2
2
00(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00
-
+
-
+
→→---'''====⇒=--x x x x y y y x x
(2)110
(0)lim lim ,(0)lim lim ,0
αα
α
α
-
-+
+++-
+
→→→→---''==-==--x x x x x
x
y x y x x x
因此，只有当α为有理数且2α≠
n m
时0
(0)lim 0α→'==x y x 成立。

6．解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，则必然在x =0和x =1点处连续，因此
(1) 0
(0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+→→=-=+⇒=x
x x f f x a a 即
(2) 1
1
1
sin(1)11
(1)(1),lim
lim 1.1
1
-
+
-+→→--+-''==⇒=--x x x b x f f b x x 即
7．设f (x )在x =0点连续，且0
()1
lim
1x f x x
→-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？
解：由于得f (x )在x =0点连续，则0
lim ()(0).→=x f x f
由0
()1lim
1x f x x
→-=-有：
(1) []0
()1()1lim lim lim
0lim ()10lim ()1→→→→→--⋅
=⋅=⇒-=⇒=x x x x x f x f x x x f x f x x
x
，
即f (0)=1;
(2) 0
()1()(0)
lim
lim
1(0) 1.0
→→--'==⇒=-x x f x f x f f x
x
8．解:函数g (x )在x =0点连续,则当x →0时, 存在某个领域U δ(0),在此领域内g (x )是有界量。

因此
()(0)
()sin (0)sin 0
()sin (0)lim
lim
lim
(0).0
→→→--'====-x x x f x f g x x g g x x
f g x x
x
9．设(0)1,(1)2,(0)1,(1)2,f g f g ''===-=-求 (1)00
cos ()
(cos 1)(()1)
lim
lim
→→----=x x x f x x f x x
x
cos 1
()(0)
1lim
lim
(0);2
→→--'=-=-
-x x x f x f f x
x
(2)0
2()1
2()()()1
lim
lim
→→--+-=x
x
x x f x f x f x f x x
x
21()1lim ()
lim
(0)ln 2(0);→→--'=+=+x
x x f x f x f f x
x
(3)1
1
()2()22
2
lim
lim
11
→→--+-=--x x x g x x g x x x x x
1
1
1
1
()21()(1)
1lim
2lim
lim
2lim
(1)1;1
1
1
1
→→→→---'=+=+=+---+x x x x g x x g x g x x
g x x x x
10．设(0)1,(0)1,f f '==-求极限1
(ln )1lim .1x f x x
→--
解: 1
00(ln )1()1()(0)
ln lim
lim lim (0);11e →→→---='==----t x t t f x f t f t f t x f x t
11．设(0)1,(0)1,f f '==-(1)求当x →0时,()1f x -的主部； (2)求极限2
2
(2)1lim .2→---x f x x x
解：(1) 求当x →0时,()1(0)(1)(1),'-=-+-f x f x o x 因此f (x )-1的主部为1-x ;
(2) 2
2
2
0(2)1(2)1()(0)
2lim
lim
lim
2(2)(2)
→→→-----=-=---+x x t f x f x f t f t x x x
x x t t 0
1()(0)
11lim
lim
lim (0);2
2
2
→→→-'=-=-
=-
+t t t f t f f t t
17．解: (1) 由()f x 在(,)-∞+∞内可导，有
1
()(0)
1lim
lim sin
,0
α-→→-=-x x f x f x
x x
当α>1时,上述极限存在；
(2) 当x ≠0时, 1
2
111()sin
sin
cos
α
ααα--'==-f x x x
x
x
x
x
,
由0
lim ()→'x f x 存在可知 α>2，且有
12
11sin cos ,0()0,0ααα--⎧-≠⎪
'=⎨⎪=⎩
x x x f x x x
x 18．解: 已知2
ln(12)y x a y b x =+=+与在x =1点相切，即
[]2
1l n (1
2)='
'⎡⎤+=+⎣⎦
x x x a b x =1
223;3
⇒=
⇒=b b
在切点处函数值相等，则
[]2
13ln(12)13ln 33ln 3 1.=⎡⎤+=+⇒+=⇒=-⎣⎦x x x a x a a =1。