并且通解包括了方程(4.1)的所有解
常数变易法
设x（1 t），x（2 t），L ，x（n t）为方程的基本解组，
x(t) c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t）
x(t) c1(t)x（1 t）+c2 (t)x（2 t）+L cn (t)x（n t）
c1(t)x（1 t）+c2(t)x（2 t）+L cn(t)x（n t）=0
当k n时,c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t）
(4.4)
函数的线性无关与线性相关
定义1
函数x（1 t），x（2 t），L ，x（k t），a t b 如果存在不全为零的数c1,c2,L , ck，使得恒等式
c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t） 0,t (a,b)
例2 求方程tx x t2于域上的所有解
小结
1 齐次线性微分方程的线性无关解的最大个数是n 2 齐次线性微分方程的通解就是所有解 3 非齐次方程的通解可通过齐次方程的基本解组得出 4 研究线性微分方程的解就是去找到齐次方程的基本解组
怎么找？
❖P131 1,
作业
4.2.1复值函数与复值解
❖ 复值函数的定义
z(t) (t) i (t), a t b,其中(t), (t)是实函数
❖ 复值函数的极限
lim z(t) lim(t) i lim (t),
t t0
t t0
t t0
❖ 复值函数的连续
lim
t t0Βιβλιοθήκη z(t)z(t0)
❖ 复值函数的导数
dz(t0 ) d(t0 ) i d (t0 )
dt
)
x ( n 1) 0
(4.3)
注：
(1)初值条件唯一地确定了方程的解
(2)解的存在区间为a t b
4.2.2 齐次线性微分方程解的性质与结构
定理2（叠加原理）
如果x（1 t），x（2 t），L ，x（k t）是方程（4.2）k的解， 则c1x（1 t） c2x（2 t）L ck x（k t）亦是方程（4.2）解，
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
L
an 1 (t )
dx dt
an
(t)x
0,
(4.2)
（4.2）称为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程
（4.1）称为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程
（4.2）称为对应方程（4.1）的齐次线性微分方程.
解的存在唯一性定理
定理1
则称这些函数是线性相关的，否则就称为线性无关
朗斯基行列式
定义2 x（1 t），x（2 t），L ，x（k t） C k [a,b]
x1 (t )
x2 (t) L
W (t) x1(t) M
x2(t) L M
x1(k1) (t) x2(k1) (t) L
xk (t)
xk(t) 称为这些函数的朗斯基行列式 M
第四章 高阶微分方程
§4.1 线性微分方程的一般理论
4.1.1 引言
n阶线性微分方程的一般形式:
dnx
d n1x
dx
dtn a1(t) dtn1 L an1(t) dt an (t)x f (t),
(4.1)
其中ai (t)(i 1, 2,L , n)及f (t)都是在区间a t b上的连续函数 若f (t) 0，则方程（4.1）变为:
定理5
n阶齐次微分方程4.2一定存在n个线性无关解
定理6
若x（1 t），x（2 t）,L ，x（n t）是方程4.2的n个线性无关解
则方程（4.2）的通解可表为： x(t) c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t）, c1,L , cn是任意常数 并且通解包含所有解
4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法
这n个方程组成一个代数方程组，其系数行列式就是w[t] 0，
ci(t) i (t),i 1, 2,L , n.
n
n
x(t) ci x（i t）+ x（i t）i (t)dt
i 1
i 1
例1 求方程x x 1 的通解，已知它对应的齐次线性微分方程的基本解组为cost,sin t cos t
性质2：方程（4.1）任意两个解之差必为方程（4.2）的解
定理7 设x（1 t），x（2 t），L ，x（n t）为方程的基本解组，而是（x%t）方程（4.1）的某一解
则方程（4.1）的通解可表示为：
x(t) c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t） x%(t), c1,L , cn是任意常数
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
L
an 1 (t )
dx dt
an
(t)
x
f (t),
dnx
d n1x
dx
dt n a1(t) dt n1 L an1(t) dt an (t)x 0,
解的结构：
(4.1) (4.2)
性质1：如果x%(t)是方程（4.1）的解，而x(t)是方程（4.2）的解 则x%(t) x(t)也是方程（4.1）的解
c1(t)x1（ t） c2(t)x2（ t）L cn(t)xn（ t） 0
c1(t)x1（ t） c2(t)x2（ t）L cn(t)xn（ t） 0
M
M
c1(t)x1(n2（) t） c2 (t)x2(n2（) t）L cn(t)xn(n2（) t） 0
c1(t)x1(n（ 1) t） c2(t)x2(n（ 1) t）L cn(t)xn(n（ 1) t） f (t)
dt
dt
复值函数导数的性质
d dt
( z (t1 )
z(t2 ))
dz(t1) dt
dz(t2 ) dt
若ai (t)(i 1, 2,L , n)及f (t)都是区间a t b上的连续函数，
则对于任一t0 [a, b]及任意的x0，x0(1) ,L , x0(n1)方程存在唯一解， 定义于区间a t b上，且满足初值条件
(t0 )
x0
,
d (t0
dt
)
x(1) 0
,L
,
d
n1 (t0
dt n1
xk (k 1) (t)
定理3
若函数x（1 t），x（2 t），L ，x（n t）在区间a t b上线性相关，
则它们的朗斯基行列式W (t) 0，t [a,b]
定理4
若4.2的解x（1 t），x（2 t），L ，x（n t）在区间a t b上线性无关，
则它们的朗斯基行列式W (t) 0，t [a,b]