第五章 方差分析课后习题参考答案5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α)解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ记167.2081211112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij T i iX n X S467.7011211211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij iA ii X n X n S7.137=-=A T e S S S当0H 成立时，()()()r n r F r n S r S F e A ----=,1~/1/本题中r=3经过计算，得方差分析表如下：查表得()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。

(2)软件计算解答过程从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。

5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。

这里假定第i 种电池的寿命2iX (,)(1,2,3)i N i μσ=。

解：手工计算过程： 1.计算平方和其检验假设为：H0：，H1：。

2.假设检验：所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。

3.对于各组之间的均值进行检验。

6.615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4.216)3.28108.15(*4*))(1()(832429.59*14*))(1()(22212212122222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===ri i i i A ri i i ri ii i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684.170333.188.30712/4.2162/6.615)/()1/(===--=r n S r S F e A 89.3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α对于各组之间的均值进行检验有LSD-t 检验和q 检验。

SPSS 选取LSD 检验（最小显著差t 检验），原理如下： 其检验假设为：H0：，H1：。

方法为：首先计算拒绝H0，接受H1所需样本均数差值的最小值，即LSD （the leastsignificant difference ，LSD ）。

然后各对比组的与相应的LSD 比较，只要对比组的大于或等于LSD ，即拒绝H0，接受H1；否则，得到相反的推断结论。

LSD-t 检验通过计算各对比组的与其标准误之比值是否达到t 检验的界值)()11(||21B r N t n n MS x x BA e A -≥+--α由此推算出最小显著差LSD ，而不必计算每一对比组的t 值)11()(||21B BA e A n n MS r N t x x LSD +-≥-=-α如果两对比组的样本含量相同，即时，则n MS r N t x x LSD eA 2)(||21B -≥-=-α的置信区间为：B A μμ-）（n MS r N t x x e A 2)(||21B -±--α则本题中686.25033.18*22==n MS e852.5686.2*1788.2686.2*)12(2)(975.01===--t n MS r N t eα所以的置信区间21μμ-为：（12.6-5.852, 12.6+5.852）, 即：（6.748，18.452） 同理可得的置信区间为：3132,μμμμ--（-20.252，-8.548），（-7.652，4.052）从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（1.8<5.852）。

而甲和乙之间(12.6>5.852)，乙和丙之间(14.4>5.852)有显著差异(显著水平为0.05)。

SPSS软件计算结果：1.方差齐性检验方差齐性检验结果从表中可以看出，即方差相等的假设成立。

2.计算样本均值和样本方差。

（可用计算器计算）描述性统计量3.从表中可以看出，F值为17.068,P值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。

4.方差分析表单因素方差分析表从表中可以看出，F值为17.068,P值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。

5.最小显著性差异法（LSD）结果多重均值比较（Multiple Comparisons ）(I) 工厂(J) 工厂 MeanDifference (I-J)标准差Sig.95% 置信区间下限 上限 1 2 12.600(*) 2.686 .001 6.7518.45 3 -1.800 2.686 .515 -7.65 4.052 1 -12.600(*) 2.686 .001 -18.45 -6.753 -14.400(*) 2.686 .000 -20.25 -8.55 3 1 1.800 2.686 .515 -4.05 7.65 2 14.400(*) 2.686 .000 8.5520.25* The mean difference is significant at the .05 level. 从表中可以看出12μμ-的置信区间为：（12.6-5.852, 12.6+5.852）, 即：（6.748，18.452） 同理可得1323,μμμμ--的置信区间为：（-7.652，4.052），（-20.252，-8.548） 从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（sig=0.515）。

而甲和乙之间(sig=0.001)，乙和丙之间(sig=0.000)有显著差异(显著水平为0.05)。

5.3 对用5种不同操作方法生产某种产品作节约原料试验，在其它条件尽可能相同的情况下，假定原料节约额服从方差相等的正态分布，试问：操作法对原料节约额的影响差异是否显著？哪些水平间的差异是显的？(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()5,4,3,2,10:0==i H i μ记910.891211112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij T i iX n X S 537.5511211211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====r i n j ij ri n j ij iA ii X n X n S373.34=-=A T e S S S当0H成立时，()()()r n r F r n S r S F e A ----=,1~/1/本题中r=5，经过计算，得方差分析表如下：查表得()()06.315,4,195.01==---F r n r F α且F=6.058>3.06，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。

(2)从上表可以看出，工厂使用的操作法这个因素的检验统计量F 的观测值为6.059，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.01，拒绝原假设，认为不同工厂之间操作法的差异对原料节约额有显著影响。

(3)判断各种操作方法之间的差异的显著，使用SPSS 软件中最小显著性差异法（LSD ）计算。

以看出，在给定的置信水平01.0=α时，操作法A1和A4，A1和A5，A2和A4，A2和A5的P 值都小于0.01，因此可以认为他们之间的差异显著。

5.5 在化工生产中为了提高得率，选了三种不同浓度，四种不同温度情况做实验。

为了考虑浓度与温度的交互作用，在浓度与温度的每一种水平组合下做两次实验，其得率数据如下面的表所示(假定数据来自方差相等的正态分布，试在05.0=α的显著水平下检验不同浓度、不同温度以及他们之间的交互作用对得率有无显著影响。

解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:01==i H i α()4,3,2,10:02==j H j β()4,3,2,1;3,2,10:03===j i H ij γ为了便于计算，记∑=∙∙==tk ij ijk ij X t X T 1()92,68,90;32111=====∙∙∙∙∙∙==∙∙∙∙∑∑T T T X st X T s j tk i ijk i()∑∑==∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙======ri tk j ijk j T T T T X rt X T 11432162,65,67,56;25011111=====∑∑∑∑∑====∙∙=∙∙r i s j t k sj j r i i ijk T T X rst X T27521112==∑∑∑===ri sj tk ijk X W则有：833.1472=-=rst T W S T333.441212=-=∑=∙∙rst T T st S r i i A5.111212=-=∑=∙∙rst T T rt S s j j B 000.2712112=---=∑∑==∙⨯B A r i s j ij BA S S rst T T t S000.65=---=⨯B A B A T e S S S S S当01H 成立时，()()()()1,1~1/1/----=t rs r F t rs S r S F e A A当02H 成立时，()()()()1,1~1/1/----=t rs s F t rs S s S F e B B当03H 成立时，()()()()()()()1,11~1/11/------=⨯⨯t rs s r F t rs S s r S F e B A B A本题中r=3,s=4,t=2，经过计算，得方差分析表如下： 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 浓度A44.333 2 22.167 4.092 温度B 11.500 3 3.833 0.708 交互作用B A ⨯ 27.000 6 4.500 0.831 误差 65.000 12 5.417 . 总和 147.83323查表得()()()89.312,21,195.01==---F t rs r F α且A F =4.092>3.06，在95%的置信度下，拒绝原假设，认为浓度的差异对化工得率有显著影响。