（＋ ) f 3 ( s) n S
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第 一 章
静 电 场
实验法 边 值 问 题 计算法
实测法
模拟法 解析法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法

数值法
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法

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第 一 章
静 电 场
1.4 边值问题、惟一性定理
Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem
1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程
(Poisson’s Equation and Laplace’s Equation)
E 0
D
E
E E E 2 泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 2 2 2 2 2 2 x y z
当 =0时
2
—拉普拉斯算子
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静 电 场
1.4.2 边值问题（Boundary Problem)
第 一 章
静 电 场
例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布的对称性
确定计算场域，边值问题
2 2 2 0 2 2 x y （阴影区域）
图1.4.1 缆心为正方形的 同轴电缆


( x b , 0 y b及y b , 0 x b )
2
(r a) ( a r )
图1.4.2 体电荷分布的球体
1 d 2 d 2 2 2 (r )0 r dr dr
2
r 2 1 通解 1(r ) C1 C2 6 0 r
边界条件1 r a 2 r a
1 2 0 r a 0 r a r r
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第 一 章
静 电 场
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 已知边界上导体的电位
|s f1(s)
2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann) 已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度 或 电力线) f 2 ( s) n S 3）第三类边界条件 已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
U
( x 2 y 2 a 2 , x 0, y 0 )
0
0
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x
( x 0 ,b y a )
0
y
( y 0 ,b x a )
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第 一 章
静 电 场
例1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。
解：采用球坐标系,分区域建立方程
1 d 2 d1 1 2 (r ) r dr dr 0
2 a 2 E2 (r ) 2 er e ar 2 r r 3 0 r
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第 一 章
静 电 场
1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theor程的解是惟一的。
例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
U0 2 A. 1 x d U0 B. 2 x U0 d U0 C. 3 x U0 d 答案:（C ）
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图1.4.4 平板电容器外加电源U0
微分 方程 泊松方程 2＝－ / 拉普拉斯方程 2＝0 场域边界条件(待讲）
边值 问题
边界 条件
分界面衔 接条件
1＝ 2
1 2 1 2 n n
r
初始 条件
自然边界条件 lim r 有限值 强制边界条件
lim
r 0
有限值
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C3 2 (r ) C4 r
1 r 0 有限值
2
r 0 参考电位
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静 电 场
得到
1 (r ) (3a 2 r 2 ) 6 0 a 3 2 (r ) 3 0 r
0r a ar
1 1 电场强度（球坐标梯度公式）： ＝ er e e r r rsin E1(r ) 1 1 er r er 0 r a 图1.4.3 ，E 随r变 r 3 0 化曲线