第十八章 热力学与统计物理学概述18-1外界对一个气体系统所作的功可以用式(18-1)表示，即21V V A pdV =-⎰由此我们是否可以说，任何没有体积变化的过程外界都不会对它作功？答：错误。

外界对气体系统作功可以有许多形式，如电场力作功、磁场力作功等，实际上可以把除了热的形式以外的各种传递能量的形式都归结为作功。

而式：21V V A pdV =-⎰只适用于一个均匀的气体系统在没有外场作用的情况下的准静态过程。

如果是非准静态过程，体积没有变化，外界也可能对系统作功。

如一装有气体的容器在运动中突然停止，这时容器内气体的体积不变，但此时外界对气体有作功。

18-2能否说系统含有多少热量？为什么？答：错误。

因为：对于一个处于一定状态的系统，既不吸热，也不放热，无热量可言。

而系统吸热或放热的多少都与过程有关，即热量是一个过程量，不是一个状态量，所以不能说系统含有多少热量。

18-3分别在p -V 图、p -T 图和T -V 图上画出下列过程：等体、等压、等温和绝热。

答：18-4为什么公式pV C γ=只有在准静态过程的条件下才成立？答：（1）因为只有在准静态过程中，每一瞬间系统都处于平衡态，才可以使用理想气体物态方程来描述。

绝热过程P —V 图P —T 图T —V 图（2）在推导公式pV C γ=过程中，用到绝热过程dU pdV =-也只有在准静态过程中才成立。

18-5 将20g 的氦气分别按照下面的过程，从17℃升至27℃，试分别求出在这些过程中气体系统内能的变化、吸收的热量和外界对系统作的功：(1)保持体积不变；(2)保持压强不变；(3)不与外界交换热量。

设氦气可看作理想气体，且32V R C ν=。

解：(1)保持体积不变：外界对系统不作功：0A =；系统内能的变化为：236.23102V U C T R T J ν∆=∆=∆=⨯；由热力学第一定律，吸收的热量为： 26.2310V Q U J =∆=⨯ 这表示，在系统体积不变的情况下，外界对系统不作功，系统从外界获得的热量全部用于内能的增加。

(2)保持压强不变：吸收的热量：()31.0410p p V Q C T C R T J ν=∆=+∆=⨯系统内能的变化：236.23102V U C T R T J ν∆=∆=∆=⨯外界对系统作功：24.1610p A U Q J =∆-=-⨯ 这表示，在系统保持压强不变的情况下，系统从外界获得的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外界作功。

(3)不与外界交换热量，即绝热过程：吸收的热量：0Q =系统内能的变化：236.23102V U C T R T J ν∆=∆=∆=⨯外界对系统作功：26.2310A U J =∆=⨯这表示，在绝热条件下，系统与外界无热量交换，外界对系统所作的功全部用于内能的增加。

18-6 把标准状态下的14 g 氮气压缩至原来体积的一半，试分别求出在下列过程中气体内能的变化、传递的热量和外界对系统作的功：(1)等温过程；(2)绝热过程；(3)等压过程。

设氮气可看作为理想气体，且52V RC ν=。

解：(1)等温压缩过程：外界对系统所作的功：2211221ln 7.910V V V V V m dV m A pdV RT RT J M V M V =-=-=-=⨯⎰⎰在等温过程中系统内能不变：0U ∆=传递的热量：根据热力学第一定律，有：27.910Q A J =-=-⨯这表示，在等温过程中，系统内能不变，外界对系统所作的功全部以热量的形式释放到外界。

(2)绝热压缩过程：0Q = ()221111V V V T U C T C T T C T T ⎛⎫∆=∆=-=-⎪⎝⎭根据绝热方程：111122TV T V γγ--= 即：12112T V T V γ-⎛⎫= ⎪⎝⎭而： 1.4p VC C γ==所以：1211219.110V V U C T J V γ-⎛⎫⎛⎫ ⎪∆=-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭外界对系统所作的功：29.110A U J =∆=⨯ 这表示，在绝热压缩过程中，外界对系统所作的功，全部用于系统内能的增加。

(3)等压过程：根据物态方程，在初态和末态分别有：11m pV RT M =22mpV RT M=,两式相除，得：2211V T V T = 或 212111T T V VT V --= 即：221111V T T T V ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以，内能的增加为：()3221111 1.4210V V V U C T T C T J V ⎛⎫∆=-=-=-⨯⎪⎝⎭; 系统获得的热量为：()3221111 1.9910p p V Q C T T C T J V ⎛⎫=-=-=-⨯⎪⎝⎭外界对系统所作的功为：()321.42 1.9910 5.710A U Q J J =∆-=-+⨯=⨯这表示，在等压过程中，系统向外界释放热量，此热量来自于外界对系统所作的功和自身内能的减小。

18-7 在标准状态下的16 g 氧气经过一绝热过程对外界作功80 J 。

求末态的压强、体积和温度。

设氧气为理想气体，且52V R C ν=， 1.4pVC C γ==。

解：系统对外界作功80J ，即：80A J =- 在绝热过程中系统与外界无热量交换，所以：0Q =,根据热力学第一定律：80U A J ∆==- 这表示，在绝热过程中系统降低自身的内能而对外界作功。

系统初态的温度为T 1 = 273 K ，系统内能的变化可以表示为：()21V U C T T ∆=-由此可求得末态的温度：22180273265 2.7105168.31232VU T T k k k C ⎡⎤⎢⎥∆-=+=+=≈⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦绝热方程可以写为：111122p T p T γγγγ----=所以，末态的压强可以求得，为： 1.41 1.4152211126510.9210273T p p atm Pa T γγ--⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭末态的体积为：223221.210m RT M V m p -==⨯ 18-8 8.0g 氧气原先的温度为27℃，体积为0.41 dm 3，若经过绝热膨胀，体积增至4.1 dm 3。

试计算气体在该绝热膨胀过程中对外界所作的功。

设氧气为理想气体，且52V RC ν=。

解：在绝热过程中0Q =，所以：A U =∆ (1)内能的变化可以表示为：()()22121155122V T m m U C T T R T T R M M T ⎛⎫∆=-=-=- ⎪⎝⎭(2) 在绝热过程中有：12112T V T V γ-⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)将式(3)代入式(2)，得：12211255119.41022T V m mU R R J M T M V γ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∆=-=-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭29.410A U J =∆=-⨯ 这表示，在绝热膨胀过程中，系统对外界作功是以降低自身的内能为代价的。

18-9 不可逆过程是否可以理解为不能沿反方向进行的过程？为什么？答：不能。

可逆过程是指，一个过程发生后，能够通过某种方法或某种途径，既使系统返回原状态，也使外界同时恢复原样。

能够通过某种方法或某种途径，使系统返回原状态，但若对外界产生影响不能消除，是不可逆过程，并不是不能沿反方向进行的过程。

18-10 一制冷机在t 1 = 11℃和t 2= -10℃之间工作，若其循环可看作可逆卡诺循环的逆循环，问每消耗1000 J 的功可由冷库中取走多少热量？解：可逆卡诺循环的逆循环制冷系数可以表示为：212T Q A T T ε==-, 将有关数据代入上式，可以求得：26312.5284263ε==-.每消耗1000 J 的功可从冷库中取走的热量为：412.51000 1.2510Q A J ε==⨯=⨯18-11 一理想气体系统作卡诺循环，当热源温度为100℃，冷却器温度为0℃时，作净功800 J 。

今若维持冷却器温度不变，提高热源温度，使净功增至1600 J ，问热源的温度为多高？效率增大多少？设这两个循环都工作在相同的两条绝热曲线之间。

解：卡诺循环的效率可以表示为：2121111T Q Q A T Q Q η-=-== 由上式可解得：1112AT Q T T =- 和 2212AT Q T T =-若将1T 变为1'T ，并使2T 保持不变，从以上关系可以看到，这时2Q 变成了2'Q ，显然2'Q 可以表示为：2212'''A T Q T T =-现在需要知道的是2Q 与2'Q 之间存在什么关系？根据题意，循环都工作在相同的两条绝热曲线之间，并保持2T 不变。

从教材634页的图17-13可以看到，只要在相同的两条绝热曲线之间，并保持2T 不变，3V 和4V 都不会改变，再根据式(17-40)，2Q 必定保持不变。

所以22'Q Q = 即：221212''AT A T T T T T =--由上式可以解得：()1212''473A T T T T k A -=+= 原先的效率为：212731126.8%373T T η=-=-= 提高热源温度之后的效率为：21273'1142.3%'473T T η=-=-= 效率增大量为：'15.5%ηηη∆=-=17-12 有一以理想气体为工作物质的热机，其循环如图所示。

试证明其效率为：1212111V V p p ηγ-=--解： CA 为等体过程，系统吸收热量()1V A C Q C T T =- 并且：12A C T p T p = BC 为等压过程，系统释放热量()2pBC Q C T T =- 并且：12B C T V T V = AB 为绝热过程，系统与外界无热量交换。

所以该热机的效率为：()()12211211111111B p B C C V A C A C T V C T T T V Q Q C T T p T p T ηγγ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-=-=-=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 证毕。

18-13 证明一条绝热线与一条等温线不能有两个交点。

解 用反证法证明。

如果一条绝热线与一条等温线有两个交点，如图中的A 和B ，那么一定可以利用这两个交点之间的封闭区域作循环而连续对外界作功。

在此循环中只有一个热源，即从单一热源吸热而对外界作功。

每经过一个循环，系统的内能不变，根据热力学第一定律，有：Q A =-,这表示，每经过一个循环，系统都会把从外界吸引的热量全部用于对外作功。

这是违背热力学第二定律的，因而是不可能实现的。

所以，一条绝热线与一条等温线不能有两个交点。