说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。
2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域 内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 ) 即是所求的最大值或最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
题后感悟
1.解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或 容积表示为变量的函数，结合实际问题的写出定义域，利用 导数求解函数的最值．
利用导数 研究“恒成立”的问题
【问题展示】
不等式恒成立问题是近年高考的热点问题，常 以压轴题形式出现，交汇函数、方程、不等式和 数列等知识，有效地甄别考生的数学思维能力.由
于不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最 值问题，而导数，以其本身所具备的一般性和有
效性，在求解函数最值中，起到无可替代的作用，
x 证明: g(x) ＜1.
（Ⅰ）f (x)＝－xex． 当 x∈(－∞，0)时，f (x)＞0，f (x)单调递增； 当 x∈(0，＋∞)时，f (x)＜0，f (x)单调递减． 所以 f (x)的最大值为 f (0)＝0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 x＞0 时，f (x)＜0，g (x)＜0＜1． 当－1＜x＜0 时，g (x)＜1 等价于设 f (x)＞x． 设 h (x)＝f (x)－x，则 h (x)＝－xex－1． 当 x∈(－1，－0)时，0＜－x＜1，0＜ex＜1，则 0＜－xex＜1， 从而当 x∈(－1，0)时，h (x)＜0，h (x)在(－1，0]单调递减． 当－1＜x＜0 时，h (x)＞h (0)＝0，即 g (x)＜1．
x
图3.4-1
分析：已知版心的面 积，你能否设计出版心 的高，求出版心的宽， 从而列出海报四周的面 积来？
解 : 设 版 心 的 高 为 x d m , 则 版 心 的 宽 为 1 2 8 d m , 此 时 四 周 空 白 面 积 为
S(x)(x4)(1282)128 x
x
你还有其他解法
2x5128,x0 x
综上，总有 g (x)＜1．
优化问题
优化问题就是最值问题，导数是求函数最值的有力工具.
面积、容积的最值问题
例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各 空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？
吗？例如用基本 不等式行不？
令 求 ： 导 S数 '(x,)得 S 2'(x5x)12 2 2 05x122 解 得 ： x 1 6 ， x 1 （ 6舍 ）
于 是 宽 为 ： 1281288 x 16
当 x 0 ,1 6时 ， s'x0 ；当 x 1 6 , 时 ， s&小值，也是最小值点。所以， 当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最 小。
延伸学习
已知 f(x函 )a 数 xln x(a0)g ,(x)x22x2. 若 对 x1 (0,) 均 , 存 x2 [0 在 ,1]使 , f(得 x1)g(x2) 成立 a的 ，取 求 .值范围
已知函数 f (x) (1 x) ex 1. .
（I）求函数 f (x) 的最大值； （Ⅱ）设 g(x) f (x) , x 1,且x 0 ,
【总结提升】解决恒成立问题的基本方法：
1．分离参数法：其优点在于：有时可以 避开繁琐的讨论．
2．直接研究函数的形态． 其缺点在于：有些问讨论比较复杂．
当然，在解决问题时，要根据所给问题 的特点，选择恰当的方法来解题．并在解题 过程中，能够依据解题的进程合理地调整解 题策略．
1：已知 f(x) 函 x2数 a， g(x)alnx(a0), 对任 x(0 意 , ),f(x)g(x)恒成立 a的， 取求 值 .
2.步骤：
利润最大问题
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗?
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本
是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的 饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ (２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
2 ： 已 知fx(axx2),g ( x)x2 2 l n其 x ,中a0 ， 若对于 x1,x2(0,)都 , 有f1)(gx(2x)恒成 求a的取值范围.
【总结提升】
( 1 x ) D . 有 , 对 f g( (x x ) ) 对 恒 x D成 ， g立 f ( 0 (
恒 成 对 x 立 Df,( gx ( m) i x 0 n ) ;
解法二：由解法(一)得
S(x)2x512822x•5128
x
x
232872
当 且 仅 当 2 x 5 1 2 ,即 x 1 6 (x 0 ) 时 S 取 最 小 值
此时y=
128 16
x
8
答 ： 应 使 用 版 心 宽 为 8 d m ， 长 为 1 6 d m ， 四 周 空 白 面 积 最 小
对 x D有 , f g( (x x) )对 恒 x D成 ， g 立 f( 0 (
恒 成 对 x 立 Df,( gx( m) a x 0 x ) ;
（ 2） .形 如 x1， x2D ,都f有 (x1)g(x2)恒成立 对 xD ， f(x)min g(x)ma ； x
形 如 x1， x2D,都f有 (x1)g(x2)恒成立 对 xD， f(x)ma xg(x)m； in
解∴：每由瓶于饮瓶料子的的利半润径：为r，所以每瓶饮料的利润是
yf(r)0.24pr30.8pr2
=
0.8π( r 3
-
3
r2)
(0r6)
令 f'( r )= 0 .8 π 3( r 2 -2 r ) 0 ， 得 r= 2
r
(0，2)