中值定理证明题集锦1、已知函数()f x 具有二阶导数，且0()lim0x f x x→=，(1)0f =，试证：在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ= 证：由0()lim0x f x x→= ，可得0lim ()0x f x →=，由连续性得(0)0f =，由此又得00()(0)()(0)lim lim 00x x f x f f x f x x→→-'===-，由(0)(1)0f f ==及题设条件知()f x 在[0,1]上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 (0,1)c ∈，使得()0f c '=，又因为(0)()0f f c ''==， 并由题设条件知()f x '在[0,]c 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0.f ''ξ=2、设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.f f ξξξ'+=证：分析：要证结论即为：[()]0.x xf x ξ='=令()()F x xf x =，则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且(0)()0F F a ==，因此()()F x xf x =在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0.f f ξξξ'+= 注1：此题可改为：设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0.nf f ξξξ'+=分析：要证结论()()0nf f ξξξ'+=等价于1()()0n n n f f ξξξξ-'+=（给()()0nf f ξξξ'+=两端同乘以1n ξ-），而1()()0n n n f f ξξξξ-'+=即为[()]0.nx x f x ξ='= 故令()()nF x x f x =，则()F x 在[0,]a 上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论. 注2：此题与下面例题情况亦类似：设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(0,1)x ∀∈，有()0f x ≠，证：n N +∀∈，(0,1)ξ∃∈，使得()(1)()(1)nf f f f ξξξξ''-=-成立.分析：要证结论可变形为()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=，它等价于1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=(给()(1)()(1)0nf f f f ξξξξ''---=两端同乘以1()n f ξ-)，而1()()(1)()(1)0n n nf f f f f ξξξξξ-''---=即为[()(1)]0n x f x f x ξ='-=，用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.3、已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明： （1）存在一点1(,1)2ξ∈，使().f ξξ= （2）存在一点(0,)ηξ∈，使() 1.f η'=（3）存在一点0(0,)x ξ∈，使000()1(()).f x f x x λ'-=- 证：（1）分析：要证结论即为：()0.f ξξ-=令()()F x f x x =-，则只需证明()F x 在1(,1)2内有零点即可。

显然()F x 在1[,1]2上连续，且1111()()02222F f =-=>，(1)(1)110F f =-=-<，因此()F x 在1[,1]2上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在1(,1)2ξ∈，使()0F ξ=，即().f ξξ=（2）又因为(0)(0)00F f =-=，由(1)知()0F ξ=，因此()F x 在[0,]ξ上满足罗尔中值定理条件，故存在一点(0,)ηξ∈，使()0F η'=，即()10f η'-=，即() 1.f η'= （3）分析：结论000()1(())f x f x x λ'-=-即就是00()()F x F x λ'=或00()()0F x F x λ'-=，00000()()0[()()]0x F x F x e F x F x λλλ-''-=⇔-=，即0[()]0x x x e F x λ-='=. 故令()()xG x eF x λ-=，则由题设条件知，()G x 在[0,]ξ上连续，在(0,)ξ内可导，且0(0)(0)0G e F ==，()()0G e F λξξξ-==,则()G x 在[0,]ξ上满足罗尔中值定理条件，命题得证.4、设()f x 在[0,]x 上可导，且(0)0f =，试证：至少存在一点(0,)x ξ∈，使得()(1)ln(1)().f x x f ξξ'=++证：分析：要证结论即为： ()(0)(1)[ln(1)ln1]()f x f x f ξξ'-=++-,也就是()(0)()1ln(1)ln11f x f f x ξξ'-=+-+，因此只需对函数()f t 和ln(1)t +在区间[0,]x 上应用柯西中值定理即可.5、设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()()0f a f b ==，且()0g x ≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()().f g f g ξξξξ''= 证：分析：要证结论即为： ()()()()0f g f g ξξξξ''-=,等价于2()()()()0()f g f g g ξξξξξ''-=，即就是()[]0()x f x g x ξ='=，因此只需验证函数()()()f x F xg x =在区间[,]a b 上应用罗尔中值定理即可.6、设()f x 在12[,]x x 上可导，且120x x <<，试证：至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得122112()()()().x f x x f x f f x x ξξξ-'=-+-证：分析：要证结论即为： 212121()()()()()()111()x x f x f x f x x x x f f x x xξξξξξ==-''=-+='-,因此只需对函数()f x x 和1x在区间12[,]x x 上应用柯西中值定理即可. 此题亦可改为：设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，若0a b <<，试证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()[()()]().af b bf a f f a b ξξξ'-=--7、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，试证： （1）(,)a b ∃ξ∈，使得()()0f f 'ξ+ξξ=； （2）(,)a b ∃η∈，使得()()0.f f 'ηη+η=证:（1）令()()F x xf x =，利用罗尔中值定理即证结论.（2）分析：2222()()0[()()]0[()]0x x f f e f f ef x η=η'''ηη+η=⇔ηη+η=⇔=，因此令22()()x F x e f x =，利用罗尔中值定理即证结论.8、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()1f a f b ==，试证：,(,)a b ∃ξη∈，使得[()()] 1.ef f η-ξ'η+η=证：分析：要证结论即为[()()]1e f f eηξ'η+η=，即就是[()]1()x x x x e f x e =η=ξ'='. 令()()xF x e f x =，令()xG x e =，则()F x 和()G x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知：(,)a b ∃η∈，使得()()()b a e f b e f a F b a -'η=-，即就是[()()].b a e e e f f b a η-'η+η=- (,)a b ∃ξ∈，使得()b a e e F b a -'ξ=-，即就是.b a e e e b a ξ-=- 因此，有[()()]1e f f eηξ'η+η=，即就是[()()] 1.e f f η-ξ'η+η= 9、设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()()f a g a =，()()f b g b =，试证：(,)a b ∃ξ∈，使得()().f g ''''ξ=ξ证：分析：要证结论即为[()()]0x f x g x =ξ''-=. 令()()()F x f x g x =-，（1）若()f x 、()g x 在(,)a b 内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c 点处取得最大值，则()()()0()F a F c F b a c b ===<<，则()F x 分别在[,]a c 、[,]c b 上满足罗尔中值定理条件，故1(,)a c ∃ξ∈，2(,)c b ∃ξ∈使得1()0F 'ξ=，2()0.F 'ξ=由题设又知，()F x '在12[,]ξξ上满足洛尔定理条件，故存在12(,)∃ξ∈ξξ，使得()0F ''ξ=，即就是()()].f g ''''ξ=ξ（2）若()f x 、()g x 在(,)a b 内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设()f x 在p 点处、()g x 在q 点处取得最大值，且p q <，则()()()0F p f p g p =->，()()()0F q f q g q =-<，由零点定理知，(,)(0,1)c p q ∃∈⊂，使得()0F c =，由此得 ()()()0()F a F c F b a c b ===<<，后面证明与（1）相同.10、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '>，若极限(2)lim x af x a x a+→--存在，试证：（1）存在一点(,)a b ξ∈，使得222()()bab a f f x dx-ξ=ξ⎰； （2）在(,)a b 内存在异于ξ的点η，使得222()()().baf b a f x dx a ξ'η-=ξ-⎰； 证：（1）令()()xaF x f t dt =⎰，2()G x x =，则()F x 、()G x 在[,]a b 上满足柯西中值定理条件，故存在一点(,)a b ξ∈，使得222()()()baaab a f f t dt f t dt-ξ=ξ-⎰⎰成立，即就是222()()bab a f f x dx -ξ=ξ⎰成立，即就是222()()()b af x dx b a f ξ=-ξ⎰成立. （2）由（1）知，222()()()baf x dx b a f ξ=-ξ⎰，因此要证222()()().ba fb a f x dx aξ'η-=ξ-⎰，即要证22221()()()()f b a b a f a'η-=-ξξ-，即要证()()()f a f 'ηξ-=ξ，由已知 (2)lim x af x a x a+→--可得，lim (2)0x a f x a +→-=，从而得()0f a =，因此要证()()()f a f 'ηξ-=ξ，即要证()()()()f a f f a 'ηξ-=ξ-，显然只需验证()f x 在[,]a ξ上满足拉格朗日中值定理条件即可。