第五讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。

2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中值定理。

掌握这三个定理的简单应用（经济）。

3、 了解定积分中值定理。

二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m 之间的任何值. （2）零点定理设f(x)在[a 、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c ∈(a 、b)，使得f(c)=02、 罗尔定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导 （3）)()(b f a f =则一定存在),(b a ∈ξ使得0)('=ξf 3、 拉格朗日中值定理若函数)(x f 满足：（1）)(x f 在[]b a ,上连续 （2）)(x f 在),(b a 内可导则一定存在),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ4、 柯西中值定理若函数)(),(x g x f 满足:（1）在[]b a ,上连续 （2）在),(b a 内可导 （3）0)('≠x g则至少有一点),(b a ∈ξ使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--5、 泰勒公式如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到1+n 阶导数, 则当x 在),(b a 内时, )(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n之和，即)())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+=其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ (ξ介于0x 与x 之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点； 2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得ba⎰f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0. 思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n =><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得nn n c c c x f c x f c x f c f ++++++=212211)()()()(ξ例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得⎰⎰⎰==bbaadx x f dx x f dx x f ξξ)(21)()(。

例4、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，证明存在),(b a ∈ξ使得 ⎰⎰=badx x g f dx x f g ξξξξ)()()()(例5、 设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1. 证明：210x f t dt x-=⎰()在(0,1)内有且仅有一个实根。

例6、设实数n a a a ,,,21 满足关系式012)1(3121=--++--n a a a n n ，证明方程 0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n ，在)2,0(π内至少有一实根。

例7、（0234，6分）设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点],[b a ∈ξ使得 ⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤-=1,11,23)(2x xx x x f ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的ξ题型三、 证明存在ξ, 使f n ()()ξ=0(n=1,2,…)方法：思路：例9、设)(x f 在[a,b]上可导且0)()(<''-+b f a f ，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得0)(='ξf例10、设)(x f 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且1)3(,3)2()1()0(==++f f f f ，证明存在一个)3,0(∈ξ使得0)(='ξf例11、设)(x f 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且12112()lim 0,2()(2)cos x f x f x dx f xπ→==⎰，证明存在)2,0(∈ξ使得0)(=''ξf题型四、 证明存在ξ, 使G f f (,(),())ξξξ'=0 方法：思路：(1) 用罗尔定理 1) 原函数法:步骤：例12、设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且)),((0)(b a x x g ∈≠'，求证存在),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且 ⎰>=-k x k dx x f xe k f 1011,)()1( 证明：在(0,1)内至少存在一点, 使 ).()1()(1ξξξf f --='例14、 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a)⋅+<f a b(),20 g(x)在[a,b]上连续，试证对∃∈'=ξξξξ(,),()()().a b f g f 使得.例15、 设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且⎰⎰==110)(,0)(dx x xf dx x f .试证：),1,0(∈∃ξ使得 )()1()(1ξξξf f -+='. [证] 令 ⎰=xdt t f x F 0)()(，则F(0)=F(1)=0. 又⎰⎰⎰⎰=∃⇒=-=-==101010110.0)(,0)()()()()(c F c dx x F dx x F x xF x xdF dx x xf于是 )1,(),,0(21c c ∈∈∃ξξ，使 0)()(21='='ξξF F ，即 .0)()(21==ξξf f设 ),(1)(x f e xx x -=ϕ 则 )1,0(),(0)()(2121⊂∈∃⇒==ξξξξϕξϕ，使得0)(='ξϕ，即 )()1()(1ξξξf f -+='.2) 常微分方程法: 适用: 步骤：例16、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且λ==)()(b f a f ，证明存在),(b a ∈ξ使得λξξ=+')()(f f例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=1, 证明：对任意实数λξ,)必存在（，∈01 , 使得'--=f f ()[()]ξλξξ1(2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得bf b af a b af f ()()()()--='+ξξξ例19、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求证存在ξ∈(,)a b ，使得1)],()([)()(11≥'+=--n f nf b f a f a b a b n nn ξξξξ例20、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a baf ()()ln ()-='ξξ例21、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(b a <<，求证存在ξ∈(,)a b ，使得 f b f a b a a ab b f ()()()()--=++'2223ξξ题型五、 含有''f ()ξ(或更高阶导数)的介值问题方法：例22、 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0, 试证至少存在一个ξ∈(,)01, 使 ''='-f f ()()ξξξ21例23、（012，8分）设)(x f 在)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。

(2) 证明在],[a a -上至少存在一个η使得 ⎰-=''aadx x f f a )(3)(3η例24、 设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f (0)=0,证明: 在(-1,1)内存在一点，使得'''=f ().ξ3例25、设f(x)在[－a, a]上具有三阶连续导数，且满足⎰-+='xdt t x tf x x f 02)()(，f (0)=0, 证明: 在[-a, a]内存在一点，使得.)(12)(4⎰-='''aadx x f f a ξ[证] 由 ⎰⎰-+=-+='x x du u f u x x dt t x tf x x f 0202)()()()( =⎰⎰-+xx du u uf du u f x x 02)()(，知 0)0(='f ， ⎰=''+=''xf dt t f x x f 0.0)0(,)(2)(根据泰勒公式，有332)(61)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f x f f x f ηη'''='''+''+'+=其中η 介于0与x 之间，x ∈-[,]11. 于是,12)(61)(12434Ma dx x f dx x f ma a a a a ≤'''=≤⎰⎰--η其中M 、m 为)(x f '''（由题设可推知)(x f '''在[-a,a]上连续）在[-a, a]上的最大值、最小值. 进一步有 M dx x f am aa ≤≤⎰-)(124故存在],[a a -∈ξ， 使得 ⎰-='''a adx x f a f )(12)(4ξ，即.)(12)(4⎰-='''a a dx x f f a ξ题型六、 双介值问题F (,,)ξη =0方法：例26、设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，b a <<0，求证存在),(,b a ∈ηξ使得)(2)()(b a f f +'='ηηξ例27、（051，12分）已知函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1)1(,0)0(==f f证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f（2）存在两个不同的点)1,0(,∈ςη使得1)()(=''ςηf f题型七、 综合题 例28、（011，7分）设函数)(x f 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且0)(≠''x f ，试证 （1） 对于(-1,1)内的任意0≠x ,存在唯一的)1,0()(∈x θ使得 ()(0)(())f x f xf x x θ'=+成立（2）21)(lim 0=→x x θ例29、试证明若)(x f 在[a,b]上存在二阶导数，且0)()(='='b f a f ，则存在),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ例30、设e<a<b, 求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得 ae a b e b e a b ----=ln ln 110ξξ[证] F x a e ab e b x e x F a F b F a b x()ln ln ln ,()()()===⇒'=---00ξ为证唯一性，再证''>F x ()0''=-+----F x e b a a b be ae xxa b()[ln ln ]2 令f x x xf x x e f a f b ()ln ()()()()=⇒'<>⇒>0g x xe g x g b g a x ()()()()=⇒'>⇒>0''>⇒'↑⇒F x F x (),()0唯一性.题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题1）反证法例30、设f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内二阶连续可导,且f x f (),(0),≤'>11. 求证存在ξ∈-(,)22, 使''=f ()ξ0[证] 反证 若对∀∈-''x f x (,),()22不变号1） ''>f x ()0, f(2)=f(0)+'⋅+''⋅∈f f (0)(),(0,)21222121ξξ ⇒-='+''>1220011(()())()(),f f f f ξ 与左端小于等于1矛盾.2) ''<f x (),0 f(-2)=f(0)-'⋅+''⋅∈-f f (0)(),(,)212220222ξξ ---='-''122002[()()]()()f f f f ξ, 同理矛盾 ⇒''f x ()变号，从而结论成立.2）隐含问题例31、（2000年）设f(x)在[0,1]上连续，⎰=100)(dx x f , g(x)在[0,1]上有连续的导数且在(0,1)内0)(≠'x g ，并且⎰=10.0)()(dx x g x f 证明：至少存在两个不同的点)1,0(,21∈ξξ, 使 f f ()()ξξ120==.[证] ⎰==⇒=xF F dt t f x F 00)1()0()()( 又 ⎰⎰⎰'-==10101010)()()()()()()()(dx x g x F x F x g x dF x g dx x g x f =0)()(),1,0(0)()(10='∈∃⇒='-⎰ξξξg F dx x g x F⇒===⇒0)1()()0(F F F ξ结论.。