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（三）建立递阶结构模型的规范方法
建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可 达矩阵M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、 骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立 递阶结构模型的基本方法。 现以例1所示问题为例说明： 与图一对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：
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系统要素Si的可达集R（Si） 、先行集A（Si） 、 共同集C （Si）之间的关系如图2所示：
R（Si） A（Si）
C （Si）
Si
图2 可达集、先行集、共同集关系示意图
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④ 起始集B（S）和终止集E（S）。系统要素集合S的起始集
A =〔aij〕 式中aij＝ 1， 当线段从Pi向着Pj（即Pi 对Pj有影响时）
0， 当Pi 对Pj无影响（关系）时 邻接矩阵与有向图（关系图）有一 一对应的关系。 例1： 某系统由七个要素（ S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7）组成。经过两两判断
认为： S2影响S1、 S3影响S4、 S4影响S5、 S7影响S2、 S4和S6相互影响。
概述——模型的分类与模型化的基本方法
模型化的基本方法： 机理法或分析方法（A22,B1,B3,C2,D21） 实验方法：拟合法——“理论”导向 经验法——“数据”导向 （A22,B1,C2,D21） 模拟法——“计算机”或“实物”导 向 （A3,A4,B2,C3,D1,D23） 专家法或老手法（A21,B4,C1,D22） ……
2
3
4
5
6
7
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0
图一
0 0 0 1 0 0 0
M=
4 5 6 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
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邻接矩阵的特性： (1)全零行对应的点为汇点（无线段离开该点），即系统的输出单 元； (2)全零列对应的点为源点（无线段进入该点），即系统的输入单 元； (3) 对应于每点的行中的1的数目就是离开该点的线段数； (4) 对应于每点的列中的1的数目就是进入该点的线段数。 原则：按行，看出去的箭头(1)；按列，找进来的箭头(1)。 ②由邻接矩阵 可达矩阵 强连接性：关系图中，Pi与Pj的关系具有对称性 对于由n个单元组成系统（P1，P2，…，Pn）的关系图，元素为 mij＝ 1， 如果从Pi经若干支路到达Pj；
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1 1 2 3 M= 4 5
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6
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0 1 0 0 0 0 1
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0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被 其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）。 B（S） 中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统 的输入要素。其定义式为： B（S）= { Si | Si ∈S， C（Si）= A（Si） ， i= 1，2，„，n } 如在于图1所对应的可达矩阵中， B（S）={S3，S7}。 当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图2中的阴 影部分C（Si）覆盖到了整个 A（Si）（ R（Si））区域。 这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统 起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止集E（Si）中 的要素及其先行集要素 ）能否分割（是否相对独立）就行了。
4 5 6 7
1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 0
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P1
P2
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图的基本概念
1、有向连接图：由若干节点和有向边连接而成的图象。 2、回路：有向连接图的两个节点之间的边多于一条时，两节点的边就构成 了回路。 3、环：一个节点的有向边若直接与该节点相连接，则就构成了一个环。
4、树：当图中只有一个源点或者只有一个汇点的图称为树。树中两相邻节 点间只有
一条通路与之相连，不允许有回路或环存在。 5、关联树：指在节点上带有加权值W,而在边上有关联值r的树称做关联树。
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①有向图与邻接矩阵 有向图：结点（顶点），边（支路、弧），作用方向（箭头表示）
如果单元Pi 对单元Pj有影响，则Pi Pj
对于有n个单元的系统（P1，P2，…，Pn），定义邻接矩阵A如下：
概述
3.建模一般过程
（1）明确建模目的和要求； （2）弄清系统或子系统中的主要因素及其相互关系 ； （3）选择模型方法； （4）确定模型结构； （5）估计模型参数； （6）模型试运行； （7）对模型进行实验研究； （8）对模型进行必要修正。
几种典型的系统模型
1. 2. 3. 4. 5.
ISM（Interpretative Structural Modeling） SS （State Space） SD （System Dynamics） CA （Conflict Analysis） 新进展——软计算或“拟人”方法（人工神经 网络、遗传算法等）； 新型网络技术（Petri网等）； ……
P5
P3
P4 1 1
2 3 4 5
2 1
0 0 0 0
3 0
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4 0
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3 4
1 1 M 0 1
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补充：系统模型与模型化
概述 解释结构模型（ISM）
一.概述
1.基本概念及意义
• 模型——对现实系统抽象表达的结果。
应能反映（抽象或模仿）出系统 某个方面的组成部分（要素） 及其相互关系。
概述
• 模型化——构建系统模型的过程及方法。
要注意兼顾到现实性和易处理性。
意义及特点： 对系统问题进行规范研究的基础和标志； 经济、方便、快速、可重复，“思想”或“政策 ”试验； 经过了分析人员对客体的抽象，因而必须再拿到 现实中去检验。
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描述系统与环境的相互能动性 目的 确定系统行为与目标间关系 定量表达系统行为及性能指标
系统模拟与预测 数学规划和系统优化技术 经济效果分析方法
1．结构模型 表明系统各单元间相互关系的宏观模型，是系统结构的图形或数学
表示
系统结构={所论系统单元全体，单元间的联系或关系}
1.概念
结构→结构模型→结构模型化→结构分析
2.系统结构表达及分析方法
理解系统结构的概念（构成系统诸要素间的关联方式或关系） 及其有向图（节点与有向弧）和矩阵（可达矩阵等）这两种常用的 表达方式。
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比较有代表性的系统结构分析方法有：关联树（如问 题树、目标树、决策树）法、解释结构模型化（ ISM ）方 法、系统动力学（SD）结构模型化方法等。 本部分要求大家主要学习和掌握 ISM 方法（实用化方 法、规范方法）。
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利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下： 在B（S）中任取两个要素bu、bv： ① 如果R（bu）∩ R（bv）≠ψ （ψ 为空集），则bu、bv及 R（bu）、 R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v 均有此结果（均不为空集），则区域不可分。 ② 如果R（bu）∩ R（bv）=ψ ，则bu、bv及R（bu）、 R （bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可 被划分为两个相对独立的区域。 利用终止集E（S）来判断区域能否划分，只要判定“A （eu）∩ A（ev）” （eu、ev为E （S）中的任意两个要 素）是否为空集即可。 区域划分的结果可记为： ∏（S）=P1，P2，„，Pk，„，Pm （其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。经过区域 划分后的可达矩阵为块对角矩阵（记作M（P））。
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① 可达集R（Si）。系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向
图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（Si）。其 定义式为： R（Si）= { Sj | Sj∈S，mij = 1，j = 1，2，„，n } i = 1，2，„，n ② 先行集A（Si）。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向 图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A（Si）。其定 义式为： A（Si）= { Sj | Sj∈S，mji = 1，j = 1，2，„，n } i = 1，2，„，n ③ 共同集C （Si）。系统要素Si 的共同集是Si在可达集和先 行集的共同部分，即交集，记为C （Si） 。其定义式为： C（Si）= { Sj | Sj∈S，mij = 1， mji = 1， j = 1， 2，„，n } i = 1，2，„，n
为方便，假定任何Pi到它本身是可达的，则应再加一单位矩阵I，即 M＝I ∪ A ∪ A2 ∪ „ ∪ An 对任何正整数n: (I ∪ A)n≡I ∪ A ∪ A2 ∪ „ ∪ An(数学归纳 法可证) Warshall算法由邻接矩阵A产生可达矩阵M（计算机程序）。 可达矩阵表明了各点经长度不大于n-1的路的可达情况M2＝M 可达矩阵的转移特性，即aRb٨bRc aRc