b
AB

BC

AC
当向量ar , br同向时，ar

br的方向与ar ,
r b同向.
当ar ,br反向时，ar br的方向与ar、br中模大的向量同向.
思的考大小4：关观系察如下何列？各a图 ，b与aab与b
a

b
的大小
关系如何？
b a a+ b
rr ab ≤
r a
a
b
a
b
2.如图，已知a、b,
用向量加法的平行四边形法则作出a
b.
（1）
b
a
本题能用三角形法则
求向量和吗？
（2）
b
a
C
D
b
a
b
A
a
B

Aa
D
b
ab
B
C
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1规：定零：向a量与任0一向0量aa可以a相.加吗？
2.用有向线段表示向量，向量的大 小和方向是如何反映的？什么叫零 向量和单位向量？
向量的加法运算及其几何意义
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按
原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向
量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
CA
B
思考3：
如图，运送淡水的船只，先从A岛到B岛，再从B岛到 C岛，这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？由 此可得什么结论？
C
A
AB BC AC
B
思考4：
上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的 和还是一个向量.
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的 加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加 法的三角形法则.
a
b

A
a b c OA AB BC OB BC OC,
所a以b , (caObA)AcB BaC(ObAcA（)C 结 O合C, 律）.
巩固练习
１.化简
(1)AB CD BC ___A__D___.
任意给出两个向量a与b,
如何求a
b.
a
b
向 三 角 形 法 则:
量 加
B
法
b
的
C
法
则Oห้องสมุดไป่ตู้
a
平行四边形法则: C
B
b
O
b
A
a
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
平行四边形法则
通过利用平行四边形法则作向量的和，你能总 结出作图的特点吗？
同起点的对角线.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法 则的物理模型.
思考2：若向量
a与
b
为相反向量，a
b
等于什么？反之成立吗？
a与 b为相反向量
a
b

0.
思的量考方a向3：b如若的何向方？量向若如a向与何量b？r a同与向，br 反则向向，量则a向 b
r a
r a
r
r
b
b
A
B
C
a
b
AB

BC

AC
C
A
B
a
同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知,F为F1与F2的合力
E
O
F1+F2=F.
F以为F1与F2为邻边所形成平行四边形
的对角 线
E
O
F
这也是向量的加法吗？
任意给出两个向量a与b,
如何求a
b.
a
b
向
量
三角形法则:
加
B
法
平行四边形法则: C
的
b
B
法
C
A
则
O
a
O
作 作 邻法边法：做：在在平平O面面A内内C任B任取,取 连一一接点点OOO,C作,,作O则OACOuuaCu,raO,BCOBuubAur.以b.O则OuAuO、BurBOBaa为r bb.r.
如图，对于下列两个向量，如何用三角形法则求其 和向量？
b
a
任意给出两个向量a与b,
如何求a
b.
向
a
b
量 加
三 角 形 法 则:
法
B
的
法 则
C
O
作法：在平面内任取一点O, 作OC

a,
CB

b.则OB

a
b.
三角形法则
观察向量 a 、b、a b 的连接方式，你能总结三 角形法则的作图特点吗？
归纳小结
加法
连接
指向
三角形法则 起终相连 平行四边形法则 起点重合
起→终
同起点的 对角线
巩固练习 教材P84练习
1.如图，已知a、b，用向量加法的三角形法则
作出a
b.
(1) ab
b
(3)

a b

a
(2)
b

a
a
a
b
b
a
b
(4)
本题能用平行四边 形法则求向量和 吗？
r a
r
r
b
b
r a

r b
r a

ar b
b (当且仅当
a
b
a与
b 同向时取等号)
rr ab
≥
rr

a b (当且仅当 a与 b 反向时取等号)
思考5：实数的加法运算满足交换律，即
对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么
向量的加法也满足交换律吗？如何检验？

a
B
b
起点、终点顺次相连
起→终
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
思考5：
例如:橡皮条在两个力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点. 分析:由物理知识知F为F1与F2的合力 F1+F2=F.
E
O
E
O
F
思考5: 例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.
There is no elevator to success
——only stairs. 成功没有电梯， 只有一步一个脚印的楼梯.
引例
• 1+1在什么情况下不等于2？
• 例如右图，两个小孩分别用1牛 顿的力提起水桶，则水桶的重 力是2牛顿吗？
问题提出
1.向量、平行向量、相等向量的含 义分别是什么？
a
b
C
b
O
a A
a
b
OA

AC

OC .

b
所以,
aab
ObBaB（C交 换OC律. ）.
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对
任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b
＋据c图）形.那验么证向a量 b的加c 法a也 满b足acO结.b合ac律b吗bCc？ c根B
(2) MA BN AC CB ___M__N___.
(3)AB BD CA DC _____0___.
２.根据图示填空
Ee D
gf
d
c