微分方程在高中物理中的应用
高中阶段，我们经常会遇到一些需要定性分析的物理问题，其实如果我们应用高等数学
的知识，可以把其中一些问题进行定量的分析。

例如，质量为m 的物体从高度H 自由下落，所受阻力f 与速度v 成正比，g 为重力加速
度这是我们平时常见的一类问题。

但我们只知道速度V 最终会趋近于某一数值v0。

下面我
进行一下定量分析。

根据题目所给信息，可列出动力学方程 mg-kv=ma ①
a=dv/dt ②
结合①式可得mg-kv=mdv/dt
这里移项可得dt=mdv/(mg-kv)③
两边同时积分便可的到
V=mg(ce*(-kt/m)+1)/k
又∵自由下落，可得t=0时v=.0
∴v=mg(1-e*(-kt/m))/k ④
由④式知，当t 趋近于正无穷时，e*(-kt/m)=0，
此时v=mg/k ⑤
若按照正常思路，当物体受力平衡时，mg=kv,此时也能得到⑤式的结论。

而在高考中，更为常见的是在电磁场中的同类问题，我们不妨看一下下面这一道例题
（2012·山东理综）如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹
角为θ，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B 。

将质量为m 的导
体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的
拉力，并保持拉力的功率为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动。

导体棒始终与导轨垂直
且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g ，下列选项正
确的是
A ．P =2mg sin θ
B ．P =3mg sin θ
C ．当导体棒速度达到v /2时加速度为1
2g sin θ
D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力
所做的功
我们根据题目也可以列出动力学方程
Mgsin θ-B*2L*2V/R=ma ①
a=dv/dt ②
同样可以解得v=(mgRsin θ/B*2L*2)(1-e*(-B*2L*2t/mR))③
从③式可以看出当t 趋近于正无穷时，v=mgRsin θ/B*2L*2即B*2L*2v/R=mgsin θ转化而来。

所以题目中所说当速度到达V 时开始匀速运动存在明显错误。

应改为近似于做匀速直线运
动。

参考文献：2012年山东高考理综卷。