G0 ( s ) = Kg 0
∏ ( s + zi ) ∏ (s + p )
j =1 j i =1 n1
m1
H ( s ) = Kg H
m1 i
∏ (s + z
k =1 n2 l =1
m2
k
)
∏ (s + z )
Kg 0
i =1 n1 j =1 j m1
∏ (s + p )
l
G (s) =
G0 ( s ) = 1 + G0 ( s ) H ( s ) 1 + Kg 0 Kg H
R(s) G(s) C(s)
⇒
，H ( s) = ( s + 1)( s + 3) ，求闭环系统的极零点
H0(s)H1(s)
【例 2】设系统 G ( s ) =
Kg s ( s + 1)( s + 2)
方法一：直接使用1/H(s)，变换
GH = Kg ( s + 3) s ( s + 2)
1/ H = ( s + 1)( s + 3)
j =1 l =1 i =1 k =1
n1
n2
m1
m2
∏ (s + p ) ∏ (s + p )
（二） 闭环极点的求解 单位反馈系统： H ( s) = 1
∏ (s + z )
Kg 0 G ( s) = G0 ( s ) = 1 + G0 ( s )
m1
∏ (s + p j )
j =1
i =1 n1
§4-5 闭环系统的零、极点
（一） 前言
由第三章内容可知，系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密 切相关，闭环零、极点分布决定了系统的稳定性、动态性能、 静态性能。因此要使用根轨迹方法全面地分析系统，需要根据 根轨迹求解闭环系统的零、极点。然后根据闭环系统零、极点 分布情况估算出系统的动态性能和静态性能指标。 闭环极点求解：对于一个具体的控制系统，绘制出其根轨迹后， 可以利用幅值条件或通过试探法在根轨迹上求出相应于已知参 数(例如Kg值)下的全部闭环极点。 闭环零点求解：可通过传递函数的分析而求得。
系统为4阶的，闭环系统的极点包括：GH的两条根轨迹，－1，－3 闭环系统的零点包括－3 方法二： H 0 = ( s + 3)
H1 = ( s + 1)
GH1 = Kg s( s + 2)
1/ H1 =
1 ( s + 1)
（四）多回路系统的闭环零点
方法二： H 0 = ( s + 3) H1 = ( s + 1) GH1 =
⇒
变换后有： {闭环极点}＝{GH回路闭环极点}＋{H的零点} {闭环零点}＝{GH的零点}＋{H的极点} 说明： G(s)极点与H(s)零点相消，所消去的因子对应了闭环系统一个极点。 G(s)零点与H(s)极点相消，所消去的因子对应了闭环系统一个零点。
（三）G(s)的极点与H(s)的零点相消情况下的闭环零点 当H(s)中存在没有对消的零点，直接作如上变换将导致系统的阶数增加， H(s)中没有消掉的零点为闭环系统附加了一对重合的极、零点，为此在做 上述结构图变换时可以将对消的因子提出来，作等效变换。 令H1(s)为H(s)中对消因子组成的部分，H0(s)＝H(s)/H1(s)，则：
Kg s( s + 2)
1/ H1 =
1 ( s + 1)
GH =
Kg ( s + 3) s ( s + 2)
系统为3阶的，闭环系统的极点包括：GH的两条根轨迹，－1 闭环系统无零点
（四） 多回路系统的闭环零点
多回路系统的闭环零点一般由系统的闭环传递函数来确定。当 单独考虑每一个回路时可以使用结论： {闭环零点}＝{前向通道零点}＋{反馈通道极点} 例如下图所示的多回路系统中，其闭环零点包含了前向通道传递函 数G1(s)、G2(s)、G3(s)的零点和反馈通道传递函数H1(s)、H2(s)的极点。
∏ (s + p ) ∏ ( s + zk )
k =1 n2 l =1 l m2
∏ ( s + zi )
i =1 n1 j j =1
=
Kg 0 ∏ ( s + zi )∏ ( s + pl )
i =1 l =1
m1
n2
∏ (s + p j )∏ (s + pl ) + Kg0 Kg H ∏ (s + zi )∏ (s + zk )
第三步，估算系统的性能指标
（二） 闭环极点的求解
动态性能指标：
δ % = e −ξπ / 1−ξ 2 × 100% = 16.3% σ 1/ 3 wn = = ⇒ 3 3 ξ 0.5 ts = = = 9s ξ wn 1/ 3
稳态误差：
K p = ∞ K = Kg / 2 = 0.525 ⇒ K v = K = 0.525 K = 0 a
5. 与虚轴的交点：
s3 s2 s1 s0 1 3 6 − Kg 6 Kg 2 Kg 0
Kg = 6
辅助方程： s 2 + 6 = 0 ⇒ s1,2 = ± 2 j 3
（二） 闭环极点的求解
第二步，由ξ求Kg及闭环极点 1. 由ξ求β
β = cos −1 ξ = 60o
2. 作等阻尼线，如果在坐标纸上绘制根轨迹可直接读出等阻尼线和根轨迹的交 点，即满足阻尼条件的系统闭环极点。其实质是求解方程组：
以下通过实例说明求取闭环系统零、极点的方法。
（二） 闭环极点的求解
【例 1】单位反馈系统 GK ( s ) =
K s ( s + 1)(0.5s + 1)
，应用根轨迹法求取具有阻尼比
ξ = 0.5的共扼闭环主导极点和其它的闭环极点，估算此时系统的性能指标。
解：第一步，绘制系统的根轨迹。首先应求开环传递函数的零极点形式：
28 Kg = = 1.037 s = −σ + jw 27 ⇒ σ = 1/ 3 = 0.333 w = 3σ 3 s + 3s 2 + 2s + Kg = 8σ 3 − 6σ 2 − 2σ + Kg + (6 3σ 2 − 2 3σ ) j = 0 w = 3 / 3 = 0.577
用闭环极点和的定理， ∑ − s j = ∑ − p j ⇒ − s3 − = −3 ⇒ − s3 = −7 / 3 = −2.333 3
−7 / 3
2
综合上述分析，满足阻尼条件的闭环系统极点为：− s1,2,3 = −0.333 ± 0.577 j, −2.333
= 7 > 5 ，因此系统具有主 此时Kg=1.037。由于-s3与-s1,2的实部之比为 −1/ 3 导极点-s1,2，可将系统近似为二阶系统估算系统的性能指标。
i
1 + Kg 0
∏ (s + zi ) ∏ (s + p )
j =1 j i =1 n1m1 Nhomakorabea=
Kg 0 ∏ ( s + zi )
i =1
m1
∏ (s + p j ) + Kg0 ∏ (s + zi )
j =1 i =1
n1
m1
非单位反馈系统： {闭环零点}＝{前向通道零点}＋{反馈通道极点} 单位反馈系统： {闭环零点}＝{前向通道零点}
因为系统为I型系统，所以在位置阶跃输入作用下无稳态误差，而在单位斜坡给 定信号作用下的稳态误差为：
ess = 1/ K v = 1.9
（三）G(s)的极点与H(s)的零点相消情况下的闭环零点
（三） G(s)的极点与H(s)的零点相消情况下的闭环零点
第四节中讨论了当G(s)的分母与H(s)的分子含有公因式时，即G(s)与H(s) 发生零极点相消情况下根轨迹的绘制方法，即补充闭环极点的方法。对结构图 作等效变换：
（二） 闭环极点的求解
GK (s) = 2K Kg = s(s +1)(s + 2) s(s +1)(s + 2)
其中： Kg = 2K
由前节绘制根轨迹草图的规则： 1. 系统的开环极点：-p1,-p2,-p3为0, -1,-2；无开环零点。系统有三条趋 向于无穷远的根轨迹。 2. 实轴上的根轨迹：[-1,0]，(-∞,-2] 3. 渐近线：−σ
=−
∑ p −∑z
j
i
4. 分离点：θ d = π
n−m
=−
0 +1+ 2 = −1 3
θ=
2k π + π π = ± ,π n−m 3
2
3 = -0.423,-1.577(舍) 3
N ' ( s ) D( s ) − N ( s) D ' ( s) = 0 ⇒ 3s 2 + 6 s + 2 = 0 ⇒ s1,2 = −1 ±