用层次分析法评选优秀学生
一．实验目的
运用层次分析法，建立指标评价体系，得到学生的层次结构模型，然后构造判断矩阵，求得各项子指标的权重，最后给出大学生综合评价得分计算公式并进行实证分析，为优秀大学生的评选提出客观公正，科学合理的评价方法。
二．实验内容
4.用层次分析法解决一两个实际问题；
（1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型。
可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。
解：层次分析发法基本步骤：建立一套客观公正、科学合理的素质评价体系，对于优秀大学生的评选是至关重要的。
在此我们运用层次分析法(AHP)，以德、智、体三个方面作为大学生综合评价的一级评价指标，每个指标给出相应的二级子指标以及三级指标，然后构造判断矩阵，得到各个子指标的权重，结合现行的大学生评分准则，算出各项子指标的得分，将这些得分进行加权求和得到大学生综合评价得分，根据分配名额按总分排序即可选出优秀大学生。
大学生各项素质的指标体系。
如下表所示：
符号说明
设评价指标共有n 个，为1x ,2x ..... n
x 。
它们对最高层的权系数分别为1w ,2w , ...
n
w ,
于是建立综合评价模型为：
=
y ∑=n
i i
i x w 1
解决此类问题关键就是确定权系数，层次分析法给出了确定它们的量化过程，其步骤具体如下：
确定评价指标集
P=（1P
，2P ，3
P )
1P =（11P ，12P ） 2P =（21P ，22P ） 2P
=（31P ，32P ）
11P =（1x ，2x ） 12P =（3x ，4x ） 21P =（5x ，6x ，7x ）
22P =（8x ，9x ，10x ） 31P =（11x ，12x ） 31P =（13x ，14x ）
建立两两比较的逆对称判断矩阵 从1x ,2x .....n x 中任取i
x 与
j
x ，令
=ij a i x /j
x ，比较它们对上一层某个因素的重要性时。
若=ij a 1，认为
i
x 与
j
x 对上一层因素的重要性相同； 若=ij a =3，认为i
x 比
j
x 对上一层因素的重要性略大；
若=ij a 5，认为i x 比j x 对上一层因素的重要性大； 若=ij a 7，认为i x 比
j
x 对上一层因素的重要性大很多；
若=ij a 9，认为
i
x 对上一层因素的重要性远远大于
j
x ；
若
=
ij a 2n ，n=1,2,3,4，元素
i
x 与
j
x 的重要性介于
=
ij a 2n − 1与
=
ij a 2n + 1之间；
用已知所有的
i x /j
x ，i ，j =1,2 ... n ，建立n 阶方阵P=n m j i x x ⨯)
/（，矩阵P 的第i 行与
第j 列元素为i x /j x
，而矩阵P 的第j 行与第i 列元素为j x /i x ，它们是互为倒数的，而对
角线元素是1。
判断矩阵
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡
=11/51/4P 51341/31P P P 321
321P P P
0858.3max =λ 0740.0CI = 0359.6max =λ 0758.0=CI
max λ=6.2255 CI =0.0364 max λ=6.0359 CI =0.0758
max λ=15.1382 CI =0.0558 max λ=14.2080 CI =0.0102 max λ=14.3564 CI =0.0175 max λ=15.1972 CI =0.0758
max λ=14.1043 CI =0.0051 max λ=14.2017 CI =0.0099
利用加法迭代计算权重
即取判断矩阵ne 个列向量的归一化的算术平均值近似作为权重向量
具体为求向量迭代序列：
1
0/1...../1/1⨯⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n e
1-'k k
Pe e =
'
k
e 为1-P k e 分量之和 k
e =
'k
e
/'k
e k=1、2、.....
可以证明,迭代的n 维列向量序列{ k e
}收效,记其极限为e,且
1
21.....a ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n a a e 则权系数可取：
i i a w =，i=1，2，...n
计算时，当 k e =1-k e ，就取
k e e = 针对本问题中爱国守法, 集体观念等各项指标对学生评价的影响大小, 我们得出一个14 x14 的成对比较矩阵, 最终求得权系数分别为：
各评价指标对学生的影响程度公式为：
=
y ∑=n
i i
i x w 1
方案层中班主任考评, 学生自评, 班级考评对各评价指标的决策权重比例如下:
则方案层中各方案对学生评价的决策权为:
=j y ∑=n
i j
j w x 1i =1,2，....,14 j =1，2,3 1y =0.3064 2y =0.3532 3y =0.2864
所以学生评价的公式为:
=
z ∑=n
j j
j y
c 1
j =1，2,3,
其中,
j
c 为方案层中班主任考评, 班级考评,学生自评对学生的打分情况, 例如对某学
生的评价中班主任考评为8 0 , 班级考评为90 , 学生自评为80 , 则该学生的综合得分为: 80⨯0.3064+90⨯0.3532+80⨯0.2864=79.212 对此模型进行一致性检验计算一致性指标CI ：
CI =（n -max
λ）/（1-n ）
利用Matlab 求解得到成对比较矩阵P 的最大特征值max λ=14.0037 ，CI =0.00285.
查找相应的平均随机一致性指标RI : 计算一致性比例CR ：
CR = CI /RI
由此公式计算出CR =1.8129-310⨯<0.1
当CR <0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。